※ 引述《Liuying (流螢)》之銘言： : 題目出處：94年師大數學推甄筆試 : 設a, b, c是滿足 0<a,b,c<_ 1/4 的三個常數。試證：二次方程式 : c(1-b)x^2 -(1-a-b-c+2bc)x+b(1-c)=0 的根都是正實數。 : 請幫忙想一下吧~ (1-a-b-c+2bc) 兩根之和 = --------------- > 0 (從題目已知很容易檢驗這是對的) c(1-b) b(1-c) 兩根乘積 = ---------- > 0 (同上) c(1-b) 判別式 = (1-a-b-c+2bc)^2 - 4bc(1-b-c+bc) 令k = 1-b-c+bc , 上式 = [k - (a-bc)]^2 - 4bck = k^2 - 2ak + 2bck + (a-bc)^2 - 4bck = k^2 - 2(a+bc)k + (a+bc)^2 - 4abc (配方) = (k - a - bc)^2 - 4abc = (1-a-b-c)^2 - 4abc (將k還原) 不難發現因為 (1-a-b-c)^2 ≧ 1/16 , 4abc ≦ 1/16 , 使得判別式 ≧ 0 於是此方程式兩根皆為正實數 僅供參考,有錯尚請不吝指正 --

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