※ 引述《Liuying (流萤)》之铭言： : 题目出处：94年师大数学推甄笔试 : 设a, b, c是满足 0<a,b,c<_ 1/4 的三个常数。试证：二次方程式 : c(1-b)x^2 -(1-a-b-c+2bc)x+b(1-c)=0 的根都是正实数。 : 请帮忙想一下吧~ (1-a-b-c+2bc) 两根之和 = --------------- > 0 (从题目已知很容易检验这是对的) c(1-b) b(1-c) 两根乘积 = ---------- > 0 (同上) c(1-b) 判别式 = (1-a-b-c+2bc)^2 - 4bc(1-b-c+bc) 令k = 1-b-c+bc , 上式 = [k - (a-bc)]^2 - 4bck = k^2 - 2ak + 2bck + (a-bc)^2 - 4bck = k^2 - 2(a+bc)k + (a+bc)^2 - 4abc (配方) = (k - a - bc)^2 - 4abc = (1-a-b-c)^2 - 4abc (将k还原) 不难发现因为 (1-a-b-c)^2 ≧ 1/16 , 4abc ≦ 1/16 , 使得判别式 ≧ 0 於是此方程式两根皆为正实数 仅供参考,有错尚请不吝指正 --

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