作者xcycl (XOO)
看板Math
標題Re: [代數] normal subgroup
時間Fri Dec 31 22:28:42 2010
※ 引述《rich1119 (We)》之銘言：
: 請問
: 有人能解釋 normal subgroup 嗎
: 我覺得只懂他的定義
: 對於他是甚麼感覺還不是很清楚
: 謝謝
從一般代數結構上的 equivalence relation (abbr. e.r.) 來看，
並不是每一種 e.r. 都能夠與代數結構的操作相容，精確地說，
令 G 為某個代數結構, 以及 [x] 為包含 x 的 equivalence class,
假設 G 有一個二元運算 *, 那麼
[g] * [h] = { x * y : x \in [g], y \in [h] }
未必會落在同一個 class 內。若對於所有的運算, 都有以上的性質
這樣的 e.r. 我們稱為 congruence relation。
至於 normal subgroup, 則一一對應群上的 congruence relation
若 N <| G 則 N = [e] 這個 equivalence class, 也就決定了整個
congruence relation, 反過來每個 congruence relation 決定了
一個 normal subgroup。(這部份請自己驗證喔)
一個集合加上 e.r. 自然可以考慮 quotient set, 而 congruence relation
額外的性質, 則使得 quotient set 得以沿用原本的代數結構,
使得 quoeient set 變成 quotient algebra。
所以同理地，有了 normal subgroup 就能夠得到一個 quotient group。
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