作者xcycl (XOO)
看板Math
标题Re: [代数] normal subgroup
时间Fri Dec 31 22:28:42 2010
※ 引述《rich1119 (We)》之铭言：
: 请问
: 有人能解释 normal subgroup 吗
: 我觉得只懂他的定义
: 对於他是甚麽感觉还不是很清楚
: 谢谢
从一般代数结构上的 equivalence relation (abbr. e.r.) 来看，
并不是每一种 e.r. 都能够与代数结构的操作相容，精确地说，
令 G 为某个代数结构, 以及 [x] 为包含 x 的 equivalence class,
假设 G 有一个二元运算 *, 那麽
[g] * [h] = { x * y : x \in [g], y \in [h] }
未必会落在同一个 class 内。若对於所有的运算, 都有以上的性质
这样的 e.r. 我们称为 congruence relation。
至於 normal subgroup, 则一一对应群上的 congruence relation
若 N <| G 则 N = [e] 这个 equivalence class, 也就决定了整个
congruence relation, 反过来每个 congruence relation 决定了
一个 normal subgroup。(这部份请自己验证喔)
一个集合加上 e.r. 自然可以考虑 quotient set, 而 congruence relation
额外的性质, 则使得 quotient set 得以沿用原本的代数结构,
使得 quoeient set 变成 quotient algebra。
所以同理地，有了 normal subgroup 就能够得到一个 quotient group。
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