作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [機統] 骰子問題
時間Fri Dec 31 13:54:46 2010
※ 引述《afflic (afflic)》之銘言：
: 同時投擲一顆紅色骰子與一顆黑色骰子n次，將第k次得到的點數記為一列向量
: Vk = (紅骰點數,黑骰點數)
: T
: 今定義一矩陣A = (V1,V2,...,Vn)
: 請問
: (1) n=3，A矩陣行向量彼此線性獨立的機率為何?
: T -1
: (2) n趨近於無限大時，(A A) 存在的機率為何?
A矩陣兩個行向量不是線性獨立就是線性相依.
線性相依就是成比例.
n=3 時,
紅骰點數=[1,1,1] 則黑骰點數有6種可能與紅骰點數成比例.
[2,2,2] ==> 4種:1,2,4,6
[3,3,3] ==> 3種:1,3,6
[4,4,4] ==> 3種:1,2,4
[5,5,5] ==> 2種:1,5
[6,6,6] ==> 4種:1,2,3,6
紅骰點數含{1,2}(6種) ==> 黑骰對應{1,2},{2,4},{3,6},3種
{1,3} ==> {1,3},{2,6} 2種
{2,4} ==> {1,2},{2,4}
{2,6} ==> {1,3},{2,6}
{3,6} ==> {1,2},{3,6}
{4,6} ==> {2,3},{4,6}
其他兩種點數組9種, 各6種排列 ==> 黑骰各1種可能對應.
紅骰3個點數不同:{1,2,3}(6種排列} ==> 黑骰:{1,2,3},{2,4,6}
其他 {1,2,4},...,{4,5,6} 19種組合各6種排列 ==> 黑骰各1種可能對應.
故, 線性相依的可能情形總數:
6*(4+3+3+2+4) + 6*3+5*6*2+9*6*1 + 6*2+19*6*1 = 354
而 A 矩陣之所有可能數 = 6^{(3*2)} = 46656
故 P{線性相依} = 354/46656 = 59/7776
而 P{線性獨立} = 1-59/7776 = 7717/7776.
T
(A A) 可逆 if and only if A 兩行線性獨立.
P{紅骰點數囊括{1,2,3,4,5,6}} = 1-P{至少一種點數不出現}
= 1-6*(5/6)^n+15*(4/6)^n-20*(3/6)^n+15*(2/6)^n-6*(1/6)^n
→ 1 當 n→∞
又:
P{線性相依|紅骰點數囊括{1,2,3,4,5,6}} = 1/6^n → 0
即:
P{線性獨立|紅骰點數囊括{1,2,3,4,5,6}} → 1
故
P{線性獨立} → 1 當 n→∞.
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