作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [机统] 骰子问题
时间Fri Dec 31 13:54:46 2010
※ 引述《afflic (afflic)》之铭言：
: 同时投掷一颗红色骰子与一颗黑色骰子n次，将第k次得到的点数记为一列向量
: Vk = (红骰点数,黑骰点数)
: T
: 今定义一矩阵A = (V1,V2,...,Vn)
: 请问
: (1) n=3，A矩阵行向量彼此线性独立的机率为何?
: T -1
: (2) n趋近於无限大时，(A A) 存在的机率为何?
A矩阵两个行向量不是线性独立就是线性相依.
线性相依就是成比例.
n=3 时,
红骰点数=[1,1,1] 则黑骰点数有6种可能与红骰点数成比例.
[2,2,2] ==> 4种:1,2,4,6
[3,3,3] ==> 3种:1,3,6
[4,4,4] ==> 3种:1,2,4
[5,5,5] ==> 2种:1,5
[6,6,6] ==> 4种:1,2,3,6
红骰点数含{1,2}(6种) ==> 黑骰对应{1,2},{2,4},{3,6},3种
{1,3} ==> {1,3},{2,6} 2种
{2,4} ==> {1,2},{2,4}
{2,6} ==> {1,3},{2,6}
{3,6} ==> {1,2},{3,6}
{4,6} ==> {2,3},{4,6}
其他两种点数组9种, 各6种排列 ==> 黑骰各1种可能对应.
红骰3个点数不同:{1,2,3}(6种排列} ==> 黑骰:{1,2,3},{2,4,6}
其他 {1,2,4},...,{4,5,6} 19种组合各6种排列 ==> 黑骰各1种可能对应.
故, 线性相依的可能情形总数:
6*(4+3+3+2+4) + 6*3+5*6*2+9*6*1 + 6*2+19*6*1 = 354
而 A 矩阵之所有可能数 = 6^{(3*2)} = 46656
故 P{线性相依} = 354/46656 = 59/7776
而 P{线性独立} = 1-59/7776 = 7717/7776.
T
(A A) 可逆 if and only if A 两行线性独立.
P{红骰点数囊括{1,2,3,4,5,6}} = 1-P{至少一种点数不出现}
= 1-6*(5/6)^n+15*(4/6)^n-20*(3/6)^n+15*(2/6)^n-6*(1/6)^n
→ 1 当 n→∞
又:
P{线性相依|红骰点数囊括{1,2,3,4,5,6}} = 1/6^n → 0
即:
P{线性独立|红骰点数囊括{1,2,3,4,5,6}} → 1
故
P{线性独立} → 1 当 n→∞.
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