作者raincole (冷雨)
看板Math
標題[微積] 有理數連續嗎？
時間Wed Dec 29 19:05:11 2010
抱歉標題打的很不清楚，因為我不知道怎樣簡潔的描述這個……
(還有我也不太確定這是不是「中學」的範圍)
實數域上，一函數f(x)的定義為：
f(x) = 0 if x belongs to Q
f(x) = 1 otherwise
那麼在任一有理點(例如(1/2,0)好了)，這個函數是連續的嗎？
就我所知連續的定義是1.有定義2.極限存在3.極限值等於函數值。
但是做極限時我就碰到疑問：
lim(c->x+) f(c) = lim(ε-> 0 ) f( x + ε) = ... ?
ε-> 0 代表ε要「任意小」，但無論有理數或無理數不都可以任意小嗎？
這樣lim(ε-> 0 ) f( x + ε) = 0 或 = 1不都說的通嗎？
(另外，有辦法打出只佔一個半形大小的ε嗎？)
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◆ From: 113.61.198.13
1F：推 znmkhxrw :at xεQ, take 1/2 , for any neighborhood of x 12/29 19:33
2F：→ znmkhxrw :there exist yεR-Q, s.t. │f(x)-f(y)│=│0-1│=1 12/29 19:34
3F：→ znmkhxrw :1>1/2 so, not continuous at any rational number 12/29 19:34
4F：→ znmkhxrw :so as at any irrational number 12/29 19:34
5F：→ znmkhxrw :so at all Real number, this function is not cont. 12/29 19:35
6F：→ znmkhxrw :有錯請指正@@" 12/29 19:35
7F：推 newversion : mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html 12/29 22:12
8F：→ newversion :在任何點都不連續 12/29 22:13
10F：→ raincole :仔細讀過wiki關於極限的定義以後我發現我錯在哪了 12/30 21:48
11F：→ raincole :也感謝以上兩位的說明 12/30 21:49