作者raincole (冷雨)
看板Math
标题[微积] 有理数连续吗？
时间Wed Dec 29 19:05:11 2010
抱歉标题打的很不清楚，因为我不知道怎样简洁的描述这个……
(还有我也不太确定这是不是「中学」的范围)
实数域上，一函数f(x)的定义为：
f(x) = 0 if x belongs to Q
f(x) = 1 otherwise
那麽在任一有理点(例如(1/2,0)好了)，这个函数是连续的吗？
就我所知连续的定义是1.有定义2.极限存在3.极限值等於函数值。
但是做极限时我就碰到疑问：
lim(c->x+) f(c) = lim(ε-> 0 ) f( x + ε) = ... ?
ε-> 0 代表ε要「任意小」，但无论有理数或无理数不都可以任意小吗？
这样lim(ε-> 0 ) f( x + ε) = 0 或 = 1不都说的通吗？
(另外，有办法打出只占一个半形大小的ε吗？)
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◆ From: 113.61.198.13
1F：推 znmkhxrw :at xεQ, take 1/2 , for any neighborhood of x 12/29 19:33
2F：→ znmkhxrw :there exist yεR-Q, s.t. │f(x)-f(y)│=│0-1│=1 12/29 19:34
3F：→ znmkhxrw :1>1/2 so, not continuous at any rational number 12/29 19:34
4F：→ znmkhxrw :so as at any irrational number 12/29 19:34
5F：→ znmkhxrw :so at all Real number, this function is not cont. 12/29 19:35
6F：→ znmkhxrw :有错请指正@@" 12/29 19:35
7F：推 newversion : mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html 12/29 22:12
8F：→ newversion :在任何点都不连续 12/29 22:13
10F：→ raincole :仔细读过wiki关於极限的定义以後我发现我错在哪了 12/30 21:48
11F：→ raincole :也感谢以上两位的说明 12/30 21:49