作者xcycl (XOO)
看板Math
標題Re: [其他] 每個無理數都可以用有限的文字定義出來 …
時間Wed Dec 29 12:14:49 2010
丟個關鍵字, wikipedia 上有個條目是 definable real number。
節錄一些重點：
正如 hcsoso 所說的, 能夠描述的數字只有可數無限多個,
而不能描述的實數有不可數多個, 理由是一樣的。
能描述的實數構成一個 field, 但並不完備,
意指存在一個不能描述的實數, 是能夠描述的實數的數列極限,
這聽起來有點玄, 不過若是存在單一的邏輯述句可以描述這個序列,
那當然這序列的極限還是可以描述的。
複數的可描述性比較單純點, 若一個複數可以被描述 若且唯若
實數部 跟 虛數部都能被描述。
對 computer scientist (hcsoso?) 更有興趣的應該是 computable number
也就是存在演算法可以計算該數值的實數, 演算法本身就可以當作是
描述該數值的邏輯述句, 所以 computable 代表 definable,
但反過來不為真。
※ 引述《hcsoso (索索)》之銘言：
: ※ 引述《citronrisky (呆)》之銘言：
: : 圓周率PI是個無理數，
: : 根號2也是個無理數，
: : 這些無理數無法寫成有限位小數的形式，
: : 但是可以用有限的文字來描述，如：
: : PI: 圓的周長與直徑的比值
: : e: d(e^x)/dx = e^x
: : sqrt(2): x^2 = 2 之正數解
: : 請問，
: : 每一個無理數都可以用有限文字來描述嗎?
: 其實是個還蠻有趣的問題!
: 這關係到 "描述的文字" 本身的特性;
: 如果我們把 "描述" 想成是一個函數從 "描述的文字集" 到 "被描述的文字集",
: (在這裡被描述的就是實數)
: 那麼一個 bijection 應該就是表示每個文字都能被獨特的描述.
: 為了讓一個 "描述" 有意義,
: 我們應該限制描述的文字集每個元素長度必須是有限的,
: 不然無窮小數展開就是一種描述.
: 在這個意義下, 如果所謂的 "字母" 不夠時, 實數是無法被描述的.
: 想像如果是用電腦的語言, 也就是描述文字集為 {0,1}*
: (這個記號表示所有由 0 與 1 形成的字串)
: 那麼我們可以知道是不可能描述實數的,
: 因為整個 {0,1}* 只有可數無限.
: 同理可推有限的字母集都不行.
: 即使我們的描述語言能容許使用自然數, 也就是 N*,
: 還是沒有辦法的, 理由相同.
: 但只要描述的語言本身字母也是不可數的, 如 R^*,
: 那就可以描述了, 但這樣的 "描述" 對我們來說不是很有意義,
: 原因是這個 "描述別人的文字集" 還是沒有辦法 "被描述",
: 頂多只能將一些在某個文字集下可能要用很長的字串描述的數字,
: 換成在另一個文字集下較短的字串罷了.
: 總而言之, 假如我們使用人類的語言 (如中文),
: 因為字母集是有限的,
: 我們即使用千奇百怪的方式定義了很多無理數,
: 仍然有不可數無窮個無裡數仍然是沒有辦法被描述的.
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