作者xcycl (XOO)
看板Math
标题Re: [其他] 每个无理数都可以用有限的文字定义出来 …
时间Wed Dec 29 12:14:49 2010
丢个关键字, wikipedia 上有个条目是 definable real number。
节录一些重点：
正如 hcsoso 所说的, 能够描述的数字只有可数无限多个,
而不能描述的实数有不可数多个, 理由是一样的。
能描述的实数构成一个 field, 但并不完备,
意指存在一个不能描述的实数, 是能够描述的实数的数列极限,
这听起来有点玄, 不过若是存在单一的逻辑述句可以描述这个序列,
那当然这序列的极限还是可以描述的。
复数的可描述性比较单纯点, 若一个复数可以被描述 若且唯若
实数部 跟 虚数部都能被描述。
对 computer scientist (hcsoso?) 更有兴趣的应该是 computable number
也就是存在演算法可以计算该数值的实数, 演算法本身就可以当作是
描述该数值的逻辑述句, 所以 computable 代表 definable,
但反过来不为真。
※ 引述《hcsoso (索索)》之铭言：
: ※ 引述《citronrisky (呆)》之铭言：
: : 圆周率PI是个无理数，
: : 根号2也是个无理数，
: : 这些无理数无法写成有限位小数的形式，
: : 但是可以用有限的文字来描述，如：
: : PI: 圆的周长与直径的比值
: : e: d(e^x)/dx = e^x
: : sqrt(2): x^2 = 2 之正数解
: : 请问，
: : 每一个无理数都可以用有限文字来描述吗?
: 其实是个还蛮有趣的问题!
: 这关系到 "描述的文字" 本身的特性;
: 如果我们把 "描述" 想成是一个函数从 "描述的文字集" 到 "被描述的文字集",
: (在这里被描述的就是实数)
: 那麽一个 bijection 应该就是表示每个文字都能被独特的描述.
: 为了让一个 "描述" 有意义,
: 我们应该限制描述的文字集每个元素长度必须是有限的,
: 不然无穷小数展开就是一种描述.
: 在这个意义下, 如果所谓的 "字母" 不够时, 实数是无法被描述的.
: 想像如果是用电脑的语言, 也就是描述文字集为 {0,1}*
: (这个记号表示所有由 0 与 1 形成的字串)
: 那麽我们可以知道是不可能描述实数的,
: 因为整个 {0,1}* 只有可数无限.
: 同理可推有限的字母集都不行.
: 即使我们的描述语言能容许使用自然数, 也就是 N*,
: 还是没有办法的, 理由相同.
: 但只要描述的语言本身字母也是不可数的, 如 R^*,
: 那就可以描述了, 但这样的 "描述" 对我们来说不是很有意义,
: 原因是这个 "描述别人的文字集" 还是没有办法 "被描述",
: 顶多只能将一些在某个文字集下可能要用很长的字串描述的数字,
: 换成在另一个文字集下较短的字串罢了.
: 总而言之, 假如我们使用人类的语言 (如中文),
: 因为字母集是有限的,
: 我们即使用千奇百怪的方式定义了很多无理数,
: 仍然有不可数无穷个无里数仍然是没有办法被描述的.
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3F：推 hcsoso :钓到高手! 的确, 我们比较有兴趣的是 computable... 12/29 23:17
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5F：推 hcsoso :anyway :P 谢谢你的说明! 12/29 23:21
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