※ 引述《hcsoso (索索)》之銘言： : ※ 引述《citronrisky (呆)》之銘言： : : 圓周率PI是個無理數， : : 根號2也是個無理數， : : 這些無理數無法寫成有限位小數的形式， : : 但是可以用有限的文字來描述，如： : : PI: 圓的周長與直徑的比值 : : e: d(e^x)/dx = e^x : : sqrt(2): x^2 = 2 之正數解 : : 請問， : : 每一個無理數都可以用有限文字來描述嗎? : 其實是個還蠻有趣的問題! : 這關係到 "描述的文字" 本身的特性; : 如果我們把 "描述" 想成是一個函數從 "描述的文字集" 到 "被描述的文字集", : (在這裡被描述的就是實數) : 那麼一個 bijection 應該就是表示每個文字都能被獨特的描述. : 為了讓一個 "描述" 有意義, : 我們應該限制描述的文字集每個元素長度必須是有限的, : 不然無窮小數展開就是一種描述. : 在這個意義下, 如果所謂的 "字母" 不夠時, 實數是無法被描述的. : 想像如果是用電腦的語言, 也就是描述文字集為 {0,1}* : (這個記號表示所有由 0 與 1 形成的字串) : 那麼我們可以知道是不可能描述實數的, : 因為整個 {0,1}* 只有可數無限. : 同理可推有限的字母集都不行. : 即使我們的描述語言能容許使用自然數, 也就是 N*, : 還是沒有辦法的, 理由相同. : 但只要描述的語言本身字母也是不可數的, 如 R^*, : 那就可以描述了, 但這樣的 "描述" 對我們來說不是很有意義, : 原因是這個 "描述別人的文字集" 還是沒有辦法 "被描述", : 頂多只能將一些在某個文字集下可能要用很長的字串描述的數字, : 換成在另一個文字集下較短的字串罷了. : 總而言之, 假如我們使用人類的語言 (如中文), : 因為字母集是有限的, : 我們即使用千奇百怪的方式定義了很多無理數, : 仍然有不可數無窮個無裡數仍然是沒有辦法被描述的. 當初想到這題目是因為看到百科事典棒這個概念 把一本百科全書的資訊量用編碼編成一個長小數介於零壹之間 再把這個點依比例精確地刻劃在一根長度為一的牙籤上 藉由測量刻痕位置可以解出一本百科全書的資訊量，在一個小牙籤上 當然這在現實上有個測量精度的問題和普朗克長度(自然界可以被測量的最小長度)的問題 後來我想到我們定義某些無理數也有類似的作用 藉由有限的定義 ("圓周和直徑之比例"<---有限長度的資訊量) 來代表無限多位數的資訊量 (3.14159265........<---無限多位數資訊量) 如果每一個無理數都有一個有限長度的定義來描述的話 那麼這個無理數的定義就扮演了百科事典棒的角色 而且這是一本無限資訊量的百科事典 不過當然沒有那麼好的事 我馬上就想到如hcsoso所提出的證明 有限長度的定義是alef-0 實數是alef-1 無法對映 --

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