※ 引述《hcsoso (索索)》之铭言： : ※ 引述《citronrisky (呆)》之铭言： : : 圆周率PI是个无理数， : : 根号2也是个无理数， : : 这些无理数无法写成有限位小数的形式， : : 但是可以用有限的文字来描述，如： : : PI: 圆的周长与直径的比值 : : e: d(e^x)/dx = e^x : : sqrt(2): x^2 = 2 之正数解 : : 请问， : : 每一个无理数都可以用有限文字来描述吗? : 其实是个还蛮有趣的问题! : 这关系到 "描述的文字" 本身的特性; : 如果我们把 "描述" 想成是一个函数从 "描述的文字集" 到 "被描述的文字集", : (在这里被描述的就是实数) : 那麽一个 bijection 应该就是表示每个文字都能被独特的描述. : 为了让一个 "描述" 有意义, : 我们应该限制描述的文字集每个元素长度必须是有限的, : 不然无穷小数展开就是一种描述. : 在这个意义下, 如果所谓的 "字母" 不够时, 实数是无法被描述的. : 想像如果是用电脑的语言, 也就是描述文字集为 {0,1}* : (这个记号表示所有由 0 与 1 形成的字串) : 那麽我们可以知道是不可能描述实数的, : 因为整个 {0,1}* 只有可数无限. : 同理可推有限的字母集都不行. : 即使我们的描述语言能容许使用自然数, 也就是 N*, : 还是没有办法的, 理由相同. : 但只要描述的语言本身字母也是不可数的, 如 R^*, : 那就可以描述了, 但这样的 "描述" 对我们来说不是很有意义, : 原因是这个 "描述别人的文字集" 还是没有办法 "被描述", : 顶多只能将一些在某个文字集下可能要用很长的字串描述的数字, : 换成在另一个文字集下较短的字串罢了. : 总而言之, 假如我们使用人类的语言 (如中文), : 因为字母集是有限的, : 我们即使用千奇百怪的方式定义了很多无理数, : 仍然有不可数无穷个无里数仍然是没有办法被描述的. 当初想到这题目是因为看到百科事典棒这个概念 把一本百科全书的资讯量用编码编成一个长小数介於零壹之间 再把这个点依比例精确地刻划在一根长度为一的牙签上 藉由测量刻痕位置可以解出一本百科全书的资讯量，在一个小牙签上 当然这在现实上有个测量精度的问题和普朗克长度(自然界可以被测量的最小长度)的问题 後来我想到我们定义某些无理数也有类似的作用 藉由有限的定义 ("圆周和直径之比例"<---有限长度的资讯量) 来代表无限多位数的资讯量 (3.14159265........<---无限多位数资讯量) 如果每一个无理数都有一个有限长度的定义来描述的话 那麽这个无理数的定义就扮演了百科事典棒的角色 而且这是一本无限资讯量的百科事典 不过当然没有那麽好的事 我马上就想到如hcsoso所提出的证明 有限长度的定义是alef-0 实数是alef-1 无法对映 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 61.31.130.58