Abstract Algebra by Herstein ： A ring is said to be a field if R is a commutative division ring (交換可除環) ------------------------------------------ from this if R is a field then a. R is a ring─ →(R,+) is an abelian group │→associativity & closed for "‧" │→distributrion for "‧" to " + " (乘法對加法有分配律) b. R is a commutative ring─ → satisfying a. │→ for "‧" is commutative c. R is a division ring─ → satistying a. │→ 有"‧"單位元素 │ (因為division ring是定義在A ring with unit) │→ 對於非" + "單位元素的元素(即是非零)，存在反元素 再來看你這個定義 ---------------------------------------------------------------- A commutative ring in which the set of nonzero elements forms a group with respect to multiplication is called a field. 是說 commutative ring 裡面的 非零元素 能構成 乘法群 的話 --------------------------------------------------------------- 其中 "非零元素 能構成 乘法群" 意思是 (R-{0},‧) is a group 因為是group 所以 對於不等於0的元素符合"‧"單位元素性質 對於不等於0的元素都有反元素 所以我們只剩下要檢查對於等於0元素而言是否"‧"單位元素性質 (Note：對於不等於0的元素符合"‧"單位元素性質 這句話 並不能說明This ring is a ring with unit 因為要是乘法單位元素要適用"R 中任何元素") 也就是說我們還需要檢查 下列式子是否成立：0‧1 = 0 = 1‧0 而這個式子對於ring都會是對的(不一定要是a ring with unit才會對喔！) ---------------------------------------------------------------------- 簡而言之 你講的那個定義在加上Check 零元素亦會符合"‧"單位元素性質 就是 Herstein 書上寫的定義了，而其實也不用check拉 那個性質Ring一定會對 ----------------------------------------------------------------------- 再來是Domain的問題 先講一下Integral Domain跟Domain Integral Domain：A commutative ring satisfy if a‧b=0 then a=0 or b=0 Domain： A ring satisfy if a‧b=0 then a=0 or b=0 所以只是差在有沒有commutative 所以有這兩件事情 Division ring => Domain Field (commutative division ring) => Integral Domain 只要假設存在 a,b 均 =/= 0 但是a‧b=0 用 取a的反元素c c‧(a‧b)=c‧0 (c‧a)‧b =c‧0 1 ‧b =c‧0=0 b =0 矛盾 所以Division ring => Domain 而Field (commutative division ring) => Integral Domain 只是雙方各加上commutative而已 --

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