Abstract Algebra by Herstein ： A ring is said to be a field if R is a commutative division ring (交换可除环) ------------------------------------------ from this if R is a field then a. R is a ring─ →(R,+) is an abelian group │→associativity & closed for "‧" │→distributrion for "‧" to " + " (乘法对加法有分配律) b. R is a commutative ring─ → satisfying a. │→ for "‧" is commutative c. R is a division ring─ → satistying a. │→ 有"‧"单位元素 │ (因为division ring是定义在A ring with unit) │→ 对於非" + "单位元素的元素(即是非零)，存在反元素 再来看你这个定义 ---------------------------------------------------------------- A commutative ring in which the set of nonzero elements forms a group with respect to multiplication is called a field. 是说 commutative ring 里面的 非零元素 能构成 乘法群 的话 --------------------------------------------------------------- 其中 "非零元素 能构成 乘法群" 意思是 (R-{0},‧) is a group 因为是group 所以 对於不等於0的元素符合"‧"单位元素性质 对於不等於0的元素都有反元素 所以我们只剩下要检查对於等於0元素而言是否"‧"单位元素性质 (Note：对於不等於0的元素符合"‧"单位元素性质 这句话 并不能说明This ring is a ring with unit 因为要是乘法单位元素要适用"R 中任何元素") 也就是说我们还需要检查 下列式子是否成立：0‧1 = 0 = 1‧0 而这个式子对於ring都会是对的(不一定要是a ring with unit才会对喔！) ---------------------------------------------------------------------- 简而言之 你讲的那个定义在加上Check 零元素亦会符合"‧"单位元素性质 就是 Herstein 书上写的定义了，而其实也不用check拉 那个性质Ring一定会对 ----------------------------------------------------------------------- 再来是Domain的问题 先讲一下Integral Domain跟Domain Integral Domain：A commutative ring satisfy if a‧b=0 then a=0 or b=0 Domain： A ring satisfy if a‧b=0 then a=0 or b=0 所以只是差在有没有commutative 所以有这两件事情 Division ring => Domain Field (commutative division ring) => Integral Domain 只要假设存在 a,b 均 =/= 0 但是a‧b=0 用 取a的反元素c c‧(a‧b)=c‧0 (c‧a)‧b =c‧0 1 ‧b =c‧0=0 b =0 矛盾 所以Division ring => Domain 而Field (commutative division ring) => Integral Domain 只是双方各加上commutative而已 --

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