作者baoxiaole (小花)
看板Math
標題[線代] 考研究所的考古題
時間Sat Dec 25 12:59:46 2010
對的證明錯的舉反例:
對所有的m*n階矩陣A B=A的轉置矩陣
則 rank(BA)=rank(AB)
===============================
這題毫無頭緒= =
結果試了很多個例子
都是對的
但是證明又卡卡的
因為一邊是m*m階矩陣 另外一邊卻是n*n階矩陣
有版友能給提示嗎!
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◆ From: 60.244.250.32
1F：→ perturb :証明 rank(BA)=rank(A) 即可 12/25 13:26
2F：推 JocularYeh :[1 i] 12/25 21:04
3F：→ perturb :復數域討論這個問題， 轉置應該是共軛轉置 12/25 22:32
4F：→ baoxiaole :抱歉我算一算還是有點卡住..rank(A)包含rank(BA) OK 12/25 22:55
5F：→ baoxiaole :但是另外一邊就證不太出來! 12/25 22:55
6F：→ anikishawn :你可以從ker(A)=ker(AB)下手 12/26 01:41
7F：→ anikishawn :把A看做某個線性轉換從F_n→F_m的左乘矩陣 12/26 01:43
8F：→ anikishawn :n是定義域的維度 12/26 01:45
9F：→ yhliu :設 rank(A)=r, 存在一個 n 階可逆方陣 P 使 AP 前 r 12/26 09:16
10F：→ yhliu :行線性獨立而後 n-r 行均為 0. 12/26 09:17
11F：→ yhliu :rank(A'A)=rank(P'A'AP) 而 P'A'AP 之左上角為 r 階 12/26 09:18
12F：→ yhliu :可逆方陣, 其餘元素皆 0. 故 rank(P'A'AP)=r. 12/26 09:19
13F：→ JocularYeh :consider a vector x in R^n x^t.A^t.A.x !=0 iff 12/26 14:50
14F：→ JocularYeh :A.x!=0 , hence A^t.A.x=0 iff A.x=0 12/26 14:52