作者baoxiaole (小花)
看板Math
标题[线代] 考研究所的考古题
时间Sat Dec 25 12:59:46 2010
对的证明错的举反例:
对所有的m*n阶矩阵A B=A的转置矩阵
则 rank(BA)=rank(AB)
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这题毫无头绪= =
结果试了很多个例子
都是对的
但是证明又卡卡的
因为一边是m*m阶矩阵 另外一边却是n*n阶矩阵
有版友能给提示吗!
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◆ From: 60.244.250.32
1F：→ perturb :证明 rank(BA)=rank(A) 即可 12/25 13:26
2F：推 JocularYeh :[1 i] 12/25 21:04
3F：→ perturb :复数域讨论这个问题， 转置应该是共轭转置 12/25 22:32
4F：→ baoxiaole :抱歉我算一算还是有点卡住..rank(A)包含rank(BA) OK 12/25 22:55
5F：→ baoxiaole :但是另外一边就证不太出来! 12/25 22:55
6F：→ anikishawn :你可以从ker(A)=ker(AB)下手 12/26 01:41
7F：→ anikishawn :把A看做某个线性转换从F_n→F_m的左乘矩阵 12/26 01:43
8F：→ anikishawn :n是定义域的维度 12/26 01:45
9F：→ yhliu :设 rank(A)=r, 存在一个 n 阶可逆方阵 P 使 AP 前 r 12/26 09:16
10F：→ yhliu :行线性独立而後 n-r 行均为 0. 12/26 09:17
11F：→ yhliu :rank(A'A)=rank(P'A'AP) 而 P'A'AP 之左上角为 r 阶 12/26 09:18
12F：→ yhliu :可逆方阵, 其余元素皆 0. 故 rank(P'A'AP)=r. 12/26 09:19
13F：→ JocularYeh :consider a vector x in R^n x^t.A^t.A.x !=0 iff 12/26 14:50
14F：→ JocularYeh :A.x!=0 , hence A^t.A.x=0 iff A.x=0 12/26 14:52