: 1. 矩陣乘法為什麼要這樣運算 考慮二元一次聯立方程組： ax ＋ by = u cx ＋ dy = v 可以想成： 未知 (x,y) 經由"變換" f : (a b ' c d) 的作用(計算)下，變成已知 (u,v) (x,y) ─→ (u,v) f 在這理 f 的變換資訊完全由 a,b,c,d四個數提供，暫且記為： (a b ' c d) -- 今觀察連續兩次的變換： ax ＋ by = u Au ＋ Bv = p cx ＋ dy = v Cu ＋ Dv = q 也就是 x,y經過運算變成 u,v 緊接著把 u,v 用別種運算變成 p,q [舉例] x + y = u u - v = 1 x - y = v u + v = 0 求 (x,y) = ? 既然， (x,y) ─→ (u,v) ─→ (1,0) (1 1 ' 1 -1) (1 -1 ' 1 1) 解法當然是 (x,y) ←─ (u,v) ←─ (1,0) (1 1 ' 1 -1) (1 -1 ' 1 1) 回到原來的 ax ＋ by = u Au ＋ Bv = p cx ＋ dy = v Cu ＋ Dv = q 抽象成： (x,y) ─→ (u,v) ─→ (p,q) (a b ' c d) (A B ' C D) F運算 G運算 我們自然想知道，可否直接把 F運算 和 G運算 合起來成一個 H運算： (x,y) ────→ (p,q) (? ? ' ? ?) H運算 我們暫寫 H = G*F，代表 H 恰為 "先"作用F，再作用G (因此我們可能 注意到 G*F 也許和 F*G 不同) 如何找出H的四個問號？ Au ＋ Bv = p -> A(ax ＋ by) + B(cx ＋ dy) = p Cu ＋ Dv = q -> C(ax ＋ by) + D(cx ＋ dy) = q 所以 (x,y) 和 (p,q) 的關係可直接寫成： (Aa+Bc)x ＋ (Ab+Bd)y = p (Ca+Dc)x ＋ (Cb+Dd)y = q 所以 H 的四個數字為 (Aa+Bc Ab+Bd ' Ca+Dc Cb+Dd) 若把H寫成： 同樣，G寫成： F寫成： ┌ Aa+Bc Ab+Bd ┐ ┌ A B ┐ ┌ a b ┐ │ │ │ │ │ │ └ Ca+Dc Cb+Dd ┘ └ C D ┘ └ c d ┘ H = G*F 即為 ┌ Aa+Bc Ab+Bd ┐ ┌ A B ┐ ┌ a b ┐ │ │ = │ │ * │ │ └ Ca+Dc Cb+Dd ┘ └ C D ┘ └ c d ┘ 可啟發矩陣乘法的定義。 : 2. 矩陣的結合律怎麼推導？ : 有沒有嚴謹或直觀的推導方式呢？ 如上，考慮三運算 F，G，H 則： (F*G)*H = 先作用H，再作用"先作用G，再作用F的作用" F*(G*H) = 先作用"先作用H，再作用G的作用"，然後再作用F 顯然兩句話是一樣的 : 先作H，再作G，再作F : 3. 即使A、B都不是零矩陣，其乘積卻可能是零矩陣...??? 零矩陣會把任何的 (x,y) 作用成 (0,0) 若我們分兩步來把 (x,y) 作用成 (0,0) 可以，比如說： (x,y) ─→ (0,y) ─→ (0,0) F G 其中，F總是把第一座標變成 0 ，但第二座標不變 G總是把第二座標變成 0 ，但第一座標不變 所以 F = ┌ 0 0 ┐ G = ┌ 1 0 ┐ └ 0 1 ┘ └ 0 0 ┘ 所以 F和G的合成(G*F)和零矩陣效果相同，但F，G都不是零矩陣。 : 4. 有沒有可能AB=I但是BA卻不等於I呢？AB均是方陣 列運算可對應矩陣乘法，把 B 列運算成 單位矩陣 可寫成，比如說： (E3)(E2)(E1)B = I -1 -1 -1 → B = (E1) (E2) (E3) 所以反過來乘： B (E3)(E2)(E1) -1 -1 -1 = (E1) (E2) (E3) (E3)(E2)(E1) = I -- 知之為知之 不知為不知 是知也 --

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