: 1. 矩阵乘法为什麽要这样运算 考虑二元一次联立方程组： ax ＋ by = u cx ＋ dy = v 可以想成： 未知 (x,y) 经由"变换" f : (a b ' c d) 的作用(计算)下，变成已知 (u,v) (x,y) ─→ (u,v) f 在这理 f 的变换资讯完全由 a,b,c,d四个数提供，暂且记为： (a b ' c d) -- 今观察连续两次的变换： ax ＋ by = u Au ＋ Bv = p cx ＋ dy = v Cu ＋ Dv = q 也就是 x,y经过运算变成 u,v 紧接着把 u,v 用别种运算变成 p,q [举例] x + y = u u - v = 1 x - y = v u + v = 0 求 (x,y) = ? 既然， (x,y) ─→ (u,v) ─→ (1,0) (1 1 ' 1 -1) (1 -1 ' 1 1) 解法当然是 (x,y) ←─ (u,v) ←─ (1,0) (1 1 ' 1 -1) (1 -1 ' 1 1) 回到原来的 ax ＋ by = u Au ＋ Bv = p cx ＋ dy = v Cu ＋ Dv = q 抽象成： (x,y) ─→ (u,v) ─→ (p,q) (a b ' c d) (A B ' C D) F运算 G运算 我们自然想知道，可否直接把 F运算 和 G运算 合起来成一个 H运算： (x,y) ────→ (p,q) (? ? ' ? ?) H运算 我们暂写 H = G*F，代表 H 恰为 "先"作用F，再作用G (因此我们可能 注意到 G*F 也许和 F*G 不同) 如何找出H的四个问号？ Au ＋ Bv = p -> A(ax ＋ by) + B(cx ＋ dy) = p Cu ＋ Dv = q -> C(ax ＋ by) + D(cx ＋ dy) = q 所以 (x,y) 和 (p,q) 的关系可直接写成： (Aa+Bc)x ＋ (Ab+Bd)y = p (Ca+Dc)x ＋ (Cb+Dd)y = q 所以 H 的四个数字为 (Aa+Bc Ab+Bd ' Ca+Dc Cb+Dd) 若把H写成： 同样，G写成： F写成： ┌ Aa+Bc Ab+Bd ┐ ┌ A B ┐ ┌ a b ┐ │ │ │ │ │ │ └ Ca+Dc Cb+Dd ┘ └ C D ┘ └ c d ┘ H = G*F 即为 ┌ Aa+Bc Ab+Bd ┐ ┌ A B ┐ ┌ a b ┐ │ │ = │ │ * │ │ └ Ca+Dc Cb+Dd ┘ └ C D ┘ └ c d ┘ 可启发矩阵乘法的定义。 : 2. 矩阵的结合律怎麽推导？ : 有没有严谨或直观的推导方式呢？ 如上，考虑三运算 F，G，H 则： (F*G)*H = 先作用H，再作用"先作用G，再作用F的作用" F*(G*H) = 先作用"先作用H，再作用G的作用"，然後再作用F 显然两句话是一样的 : 先作H，再作G，再作F : 3. 即使A、B都不是零矩阵，其乘积却可能是零矩阵...??? 零矩阵会把任何的 (x,y) 作用成 (0,0) 若我们分两步来把 (x,y) 作用成 (0,0) 可以，比如说： (x,y) ─→ (0,y) ─→ (0,0) F G 其中，F总是把第一座标变成 0 ，但第二座标不变 G总是把第二座标变成 0 ，但第一座标不变 所以 F = ┌ 0 0 ┐ G = ┌ 1 0 ┐ └ 0 1 ┘ └ 0 0 ┘ 所以 F和G的合成(G*F)和零矩阵效果相同，但F，G都不是零矩阵。 : 4. 有没有可能AB=I但是BA却不等於I呢？AB均是方阵 列运算可对应矩阵乘法，把 B 列运算成 单位矩阵 可写成，比如说： (E3)(E2)(E1)B = I -1 -1 -1 → B = (E1) (E2) (E3) 所以反过来乘： B (E3)(E2)(E1) -1 -1 -1 = (E1) (E2) (E3) (E3)(E2)(E1) = I -- 知之为知之 不知为不知 是知也 --

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