※ 引述《gp3gp3 (gp3gp3)》之銘言： : 題目如下： : Prove that if f(x) is a function from R to R such that : f(x)=f'(x) then there exists a constant C so that : f(x)= C e^x (題目完) : 我是自己試了一下 如果設 (以下的c0,c1,c2,c3等等 指 : c , c , c , c ) : 0 1 2 3 : f(x) = c0 + c1x + c2x^2 + c3x^3 + c4x^4 + c5x^5 + · · · : 則 : f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x^2 + 4c4x^3 + 5c5x^4 + 6c6x^5 + · · · : 比較係數 得 : c1 = c0, 2c2 = c1, 3c3 = c2, 4c4 = c3, 5c5 = c4, 6c6 = c5, . . . : 所以 : c2 = c0/2, 3c3=c0/2, 4c4=c0/3‧2 ...... : f(x) = c0 + c0x + (c0/2) x^2 + (c0/3!) x^3 +..... : = c0( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + .....) : = c0 ‧e^x : 不過題目並沒有說f(x)是多項式，所以我就不知道到底要怎麼證 : 課本是有證出 若f(x)=f'(x) 和 f(0)=1的話 那麼這個f(x)就一定是 : e^x 不過不知道要怎麼用到這題上＠＠ 請教了 謝謝!! 基本上，許多該說的都被 plover 老大說的差不多了…我有一些看法寫在下頭： 對於 y'＝ y 這件事，我們的確可以使用 MVT (就是 plover 老大說的). 即採用 e^-x 的輔助幫我們去瞭解 y ＝ c e^x. 這裡我們視為方法一。 至於方法二的分離變數法，即所謂的"上帝歸上帝，凱薩歸凱薩". 考慮 dy/y ＝ dx 有人會質疑分母 y 是否為零的疑慮，這點可以使用 Gronwall inequality 去克服。 這我們稱為方法二。[有需要再談…] 現在，我們來考慮 Taylor Theorem (具備餘項) 來看。此處會比較接近你的想法： 為了討論上的需要，我們先限定函數 f 限定在 [-a,a]. 之後，我們會看到為什麼要這樣 限定。寫 n n f(x) ＝ Σ {f^k (0)/k!}x^k ＋ R_n(x) ＝ Σ {f(0)/k!}x^k ＋ R_n(x) (＊) k＝0 k＝0 此處 f^(n＋1)(c) f(c) R_n(x) ＝ ------------- x^(n＋1) ＝ ------------- x^(n＋1) (n＋1)! (n＋1)! 於是，易知 R_n(x) → 0 as n → ∞, 此處因為 x 被限定在 [-a,a] 中。這也就是說 (＊）告訴我們在 [-a,a] 裡， ∞ f(x) ＝ Σ {f(0)/k!}x^k ＝ f(0) e^x. 接著，由於 a 任意，我們最終得到了 k＝0 假使 y'＝ y, 則 y ＝ c e^x, 其中 c ＝ f(0). 這我們稱為方法三。 NOTE. 或許我們會問，為何在方法一裡頭會猜出 "e^-x", 這有一些想法：例如可以根據 方法二中的分離變數法，猜測出答案後再反推。但對微分學有基本認知的人們都應 該會瞭解一個函數的導函數為其本身，那這函數應該跟 e^x 有關係。藉由加加減 減易猜測方法一中的 e^-x. 此外，若用量剛分析來面對：y' ＝ y 意味著 y 自身 並無量剛，而無量剛這件事就告訴我們除了三角函數外就是 e^x 或 log x. 而我 們會更易猜出 "e^-x". 方法三也適用於其他情況，不過我還得強調一點：方法一用了 MVT, 而需切記的是 整個單變數的微分學幾乎環繞在 MVT 而發展的 ，因此我們回憶一下方法三的方法 事實上是 MVT 的應用，即 Taylor Theorem (具備餘項) 是 MVT 的結果。不過， 這樣講-指" Taylor Theorem (具備餘項) 是 MVT 的結果 "並不妥善，因為這兩個 定理 [指 MVT 與 Taylor Theorem (具備餘項)] 是等價的! 關於這個命題有許多推廣與變態的習題，我們需掌握的是基本精神為： "單變數的微分學幾乎環繞在 MVT 而發展的…" ....不知不覺又講了一堆 =.= 就這邊結束好了。 -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 編輯: math1209 來自: 114.32.219.116 (04/26 02:12) ※ 編輯: math1209 來自: 114.32.219.116 (04/30 18:41)