※ 引述《gp3gp3 (gp3gp3)》之铭言： : 题目如下： : Prove that if f(x) is a function from R to R such that : f(x)=f'(x) then there exists a constant C so that : f(x)= C e^x (题目完) : 我是自己试了一下 如果设 (以下的c0,c1,c2,c3等等 指 : c , c , c , c ) : 0 1 2 3 : f(x) = c0 + c1x + c2x^2 + c3x^3 + c4x^4 + c5x^5 + · · · : 则 : f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x^2 + 4c4x^3 + 5c5x^4 + 6c6x^5 + · · · : 比较系数 得 : c1 = c0, 2c2 = c1, 3c3 = c2, 4c4 = c3, 5c5 = c4, 6c6 = c5, . . . : 所以 : c2 = c0/2, 3c3=c0/2, 4c4=c0/3‧2 ...... : f(x) = c0 + c0x + (c0/2) x^2 + (c0/3!) x^3 +..... : = c0( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + .....) : = c0 ‧e^x : 不过题目并没有说f(x)是多项式，所以我就不知道到底要怎麽证 : 课本是有证出 若f(x)=f'(x) 和 f(0)=1的话 那麽这个f(x)就一定是 : e^x 不过不知道要怎麽用到这题上＠＠ 请教了 谢谢!! 基本上，许多该说的都被 plover 老大说的差不多了…我有一些看法写在下头： 对於 y'＝ y 这件事，我们的确可以使用 MVT (就是 plover 老大说的). 即采用 e^-x 的辅助帮我们去了解 y ＝ c e^x. 这里我们视为方法一。 至於方法二的分离变数法，即所谓的"上帝归上帝，凯萨归凯萨". 考虑 dy/y ＝ dx 有人会质疑分母 y 是否为零的疑虑，这点可以使用 Gronwall inequality 去克服。 这我们称为方法二。[有需要再谈…] 现在，我们来考虑 Taylor Theorem (具备余项) 来看。此处会比较接近你的想法： 为了讨论上的需要，我们先限定函数 f 限定在 [-a,a]. 之後，我们会看到为什麽要这样 限定。写 n n f(x) ＝ Σ {f^k (0)/k!}x^k ＋ R_n(x) ＝ Σ {f(0)/k!}x^k ＋ R_n(x) (＊) k＝0 k＝0 此处 f^(n＋1)(c) f(c) R_n(x) ＝ ------------- x^(n＋1) ＝ ------------- x^(n＋1) (n＋1)! (n＋1)! 於是，易知 R_n(x) → 0 as n → ∞, 此处因为 x 被限定在 [-a,a] 中。这也就是说 (＊）告诉我们在 [-a,a] 里， ∞ f(x) ＝ Σ {f(0)/k!}x^k ＝ f(0) e^x. 接着，由於 a 任意，我们最终得到了 k＝0 假使 y'＝ y, 则 y ＝ c e^x, 其中 c ＝ f(0). 这我们称为方法三。 NOTE. 或许我们会问，为何在方法一里头会猜出 "e^-x", 这有一些想法：例如可以根据 方法二中的分离变数法，猜测出答案後再反推。但对微分学有基本认知的人们都应 该会了解一个函数的导函数为其本身，那这函数应该跟 e^x 有关系。藉由加加减 减易猜测方法一中的 e^-x. 此外，若用量刚分析来面对：y' ＝ y 意味着 y 自身 并无量刚，而无量刚这件事就告诉我们除了三角函数外就是 e^x 或 log x. 而我 们会更易猜出 "e^-x". 方法三也适用於其他情况，不过我还得强调一点：方法一用了 MVT, 而需切记的是 整个单变数的微分学几乎环绕在 MVT 而发展的 ，因此我们回忆一下方法三的方法 事实上是 MVT 的应用，即 Taylor Theorem (具备余项) 是 MVT 的结果。不过， 这样讲-指" Taylor Theorem (具备余项) 是 MVT 的结果 "并不妥善，因为这两个 定理 [指 MVT 与 Taylor Theorem (具备余项)] 是等价的! 关於这个命题有许多推广与变态的习题，我们需掌握的是基本精神为： "单变数的微分学几乎环绕在 MVT 而发展的…" ....不知不觉又讲了一堆 =.= 就这边结束好了。 -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 编辑: math1209 来自: 114.32.219.116 (04/26 02:12) ※ 编辑: math1209 来自: 114.32.219.116 (04/30 18:41)