※ 引述《Lindemann (永無止盡的無奈)》之銘言： : 我不是高手>_<,不過難道您沒注意到數學系最重要的必修的課 : 高微,複變,代數,拓墣,機率,線代,實變,一開始都是先從介紹簡單的集合論開始嗎??? : 我認為集合論是最重要的一門入門課,但是覺得簡介真的不太夠最好單獨開一學期 : 集合論學的好高微,代數,拓墣甚至實變才能學的扎實,這重要性是後來遠出乎我的想像 : 真正跟集合論最有相關的課就數理邏輯而已,可惜台灣好像很少 : 這方面的老師,其實我大學就沒修過和學過的大學程度的數學就數理邏輯而已XDD, : 我似乎是不需要懂到數理邏輯,不過還真的蠻想懂Godel不完備公理的(聽說不難學) : 之前常回想大學為何實變和實數完備性都唸不懂呢? : 應該是因為我的集合論太差>_< [這篇文章很長，大多是故事與心得…看不懂可以一起討論，若有錯請指正，謝謝。] 我是覺得這部分的學問可大可淺，就我個人的需要：元素、集合、函數、(等價)關係、 基(序)數等較為重要…而其他部分就不是那麼需要(而這其他部分大概說明一下就行了). 假使讀者有興趣，就自己去翻書看一看。 實數系統的完備性通常有兩種方法：一種是 Cantor 分析方法，另一種是 Dedekind 的代 數方法…在經典名著裡 Walter Rudin 於其高微本裡有這兩種。巧合的是這兩篇論文都發 表在同時 (1872 年). 要是有興趣可以先看一下數學傳播裡林琦焜教授寫的，再看中央（ 台大) 退休教授王九逵於數學傳播寫的。王九逵教授將 Cantor 與 Dedekind 的方法合併 之。而實分析方面，我想還是從測度論著手較為恰當 (否則我個人覺得會會非常雜亂)。 測度方面的歷程，我寫在文末當備註。 NOTE. 關於 Cantor 這個利用科西序列的方法，比較好懂得是這一本書：(據說作者出了 一本是工數經典。Erwin Kreyszig 所寫的 Introductory Functional Analysis with Applications). 以下將陳述我所知道的一些歷史。(我參考了"確定性的失落"-作者：莫里斯‧克萊恩 著 譯者：趙學信、出版社：台灣商務，這一本書。這部分當作閒談吧…) 【1931, Godel's incompleteness theorem】 如果一個包含整數理論的數學系統 T 是一致，則 T 不會是完備。 於是，證明 ┌──────────────────────┐ │ 一致性的代價就是失去完備性 │ └──────────────────────┘ Godel 的想法與 Russel 的理髮師悖論(Barber paradox)是類似的。Godel 這個不完備定 理對 Hilbert 是一個致命的打擊。Hilbert 有個名言： We must know. We will know. 但 Godel告訴我們：這是不可能實現的。我個人的看法是：真理遠遠超過數學家所能證明 的…致命的一擊：不能證明數學的一致性就表示了數學家極有可能在胡言亂語。 曙光：1940 年 (ＡＣ：選擇公設, ＧＣＨ：廣義連續統假設). Godel 證明了 ┌──────────────────────┐ │ ＺＦ－ＡＣ－ＧＣＨ 是一致的 │ └──────────────────────┘ 這也是 plover 說的我們常用的系統是 ＺＦＣ (Ｃ 指選擇公設，關於選擇公設見後文， ＺＦ 系統中的 Ｚ 與 Ｆ 指兩個數學家：Zermelo 與 Fraenkel). Godel 並沒有排除 ＺＦ 系統可以證明 (廣義) 連續統假說或選擇公設，直到 1963 年數學家 Cohen 證明了 (力迫法 forcing method) 選擇公設與連續統假說都獨立於 ＺＦ系統。換言之，ＺＦ 系 統無法證明 (廣義) 連續統假說或者選擇公設。 Cohen 關於連續統假說的結果意味著或許存在一個集合其基數介於 χ_0 與 χ_1 之間， 但是我們對這種集合一點概念都沒有。 選擇公設的接受與不接受： 不接受的話：很多基礎問題都不能解了，像是函數的極值問題等。 接受了的話：會產生 Banach-Tarski paradox.(以現在來說，不能算是一個悖論了). 這個 paradox 蠻違背直覺的： 一個棒球可利用切割使其經由平移與旋轉（而不改變其形狀)可以拼湊出一個地球!!! 相關這方面的資料還有蠻多的，上 wiki 百科查詢 Banach-Tarski paradox 即可。 -- 現在回到測度論上頭，有些人 (包含我) 都沒注意到 Royden 在他那本實分析裡頭的一個 NOTE. 之後為了資格考還特地整理了一下…以下是我當年準備的資料： 首先，讓我們想一想一個區間的長度該怎麼被適當的定義？一個正常的想法是定義成兩端 點之差的絕對值 (我們允許無窮大的可能性). 我們希望這樣的想法可以盡量處理更多不同的集合。首先我們處理開集合，而開集 G 可 被寫成可數多個區間 (disjoint) 的聯集。因此，只要我們定義開集的長度為這些區間的 長度之和，這開集長度的問題也就被解決。然而，面對其他更為一般的集合時，我們就會 遇到困難。我們滿心期待地希望存在一個集合函數 m 使得 (Ⅰ) 可以處理所有 |R 上的子集合。即 m 的定義域為 2^(|R). (Ⅱ) 不能背離區間長度的定義，即 m(I) ＝ |I|. 此處 |I| 表示區間長度的定義。 (Ⅲ) 滿足可數可加性。 (Ⅳ) 滿足平移不變性。 打擊：Lebesgue 的測度理論告訴了我們不可能滿足上述所有條件～ 即 Lebesgue 測度理 論告訴了我們：(Ⅱ), (Ⅲ), 且 (Ⅳ) 都成立，唯獨 (Ⅰ) 無法成立。也就是說， 我們得弱化 (Ⅰ). 注意到一件事: 1970 年, Solovay 證實了不可測集的存在性與 選擇公設等價。此外，我們還可以證明：將 |R^n 上的 Lebesgue 可測集收集起來 為一族且稱為 Ｌ. 則 #(Ｌ) ＝ #(Ｎ), 其中Ｎ 表示不可測集合所形成之族。(這 點並不難證). 如下圖： □□□□□□□■■■■■■■ □□ □□■■■■■■■ □□ Ｌ □□■■ ■■ □□ □□■■ Ｎ ■■ ： 2^(|R^n) □□□□□□□■■ ■■ □□□□□□□■■■■■■■ □□Ｂ□□□□■■■■■■■ 那麼數學家們就會退而求其次，不要滿足 (Ⅳ). 能否有一集合函數滿足 (Ⅰ), (Ⅱ), 與 (Ⅲ). 畢竟我們很想處理集合越多越好。然而，只要我們加入了連續統假設，那麼 Ulam 又告訴了我們這夢想破滅。 If we assume the Continuum Hypothesis, then there does not exist a set function m satisfying (1) m:P(|R) → [0,＋∞]. (2) m(I) ＝ |I|. (3) m is σ-additive. To show that such m does not exist, we consider the following result（＊)： (NOTE. This result is called "Ulam Theorem.") If μ:P(|R)→[0,＋∞], μ((n,n＋1])＜∞, μ({x})＝0, and μ is σ-additive, and if we assume the Continuum Hypothesis, then μ≡0. 數學家們只好再退。由於 (Ⅱ) 絕對不能省，為了滿足 (Ⅰ), 則只能弱化 (Ⅲ) 去保留 (Ⅳ). 這一點就可以做到，基本上弱化 (Ⅲ) 有兩種途徑： 一種是所謂的 σ-subadditive, 即外測度理論。而另外一種是 finite-additive. NOTE. (1) 這裡倒是可以看一看之前 ppia 寫的相關文章。 (2) 最後 Ulam 定理可以在此書-Measure and Category by Oxtoby 找到。 [這本是劉豐 哲教授推薦的書，他曾對我說：作分析學的，一定要看過這一本書。] -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- 此處先回答 Lindemann 連續統假設 和 Ulam 定理這段：我在上文說過加入連續統假設沒 關係，因為 ＺＦ－ＡＣ－ＧＣＨ 是一致的。所以即使你不加入連續統而討論 (Ⅰ)、(Ⅱ) 與 (Ⅲ), 這樣意義也不太大。至於這方面的書可見 Measure and Category by Oxtoby. 此外，有兩點 (很像，但不相同) 是需要知道的。 藉由 Axiom of Choice, 我們可以得到下列之定理： (Theorem) 存在一個不可數集合 X 賦予整序 ＜ 後有如下之性質： (i) 存在最後元素 (last element) Ω in X. (ii) 若 x in X, 且 x ≠ Ω, 則 {y in X: y ＜ x} 為可數集。 連續統假設 (Continuum Hypothesis) 等價於 存在一個整(良)序 ＜, 使得對於所有 x in |R, {y in X: y ＜ x} 為可數集。 -- 此處接著回答 Lindemann 的提問：#(Ｌ)＝#(Ｎ), 這圖表示了 可測集所成之族與不可測集所成之族是一樣多的… 因為我們往往只會處理可測集（像是開集，緊致集都是), 因此用感覺來說，會猜測： #(Ｌ)＞#(Ｎ). 但事實並非如此。這個問題起源於清華程守慶教授於 2004 年實變課程中，有人提到 |R 上的不可測集所成之族比較多還是可測集所成之族比較多？為了回答這個問題，我們首先 瞭解一些事情： (1) Cantor set 是測度為 0 的可測集且其基數為 c. 故 C 的所有子集皆為可測集。 (2) 顯然地，#(Ｌ) ≦ #(2^|R), 2^(|R) 為 |R 的所有子集合所成之族，即 power set. 藉由 (1) 可知 #(2^C) ≦ #(Ｌ), 而 #(2^C) ＝ 2^c. 再由 (2) 可知 #(Ｌ) ≦ #(2^|R) ＝ 2^c. 因此，#(Ｌ) ＝ 2^c. 現在只要能證明 #(Ｎ) ＝ 2^c 即可，而這一點只需要證明 2^c ≦ #(Ｎ). (＊) 為了證明 (＊）我們先回顧一下怎麼造出一個不可測集 (文末有更進一步的比較). (定理) There exists a non-measurable set in |R. 定義一個等價關係，利用等價關係，我們做了分割。視 |R 為下面的串燒的 collection. 0 x 0 x 我們有無窮多個串燒。事實上，藉由 |R 為不可數集合，可知有 " 不可數個 0 x 串燒 "。因為每一個串燒，都是可數個 (χ_0). . . . . 在每一個串燒中挑出一個 (選擇公理)，記成 P. P 將是不可測集合。換言之，我們每一 個串燒吃一個，我們吃掉了一個不可測集合。[串燒之說的理解方法是清華退休教授-陳璋 泡教的…據說，他上過 Royden 的課，Cohen 好像那時候也在那邊。] 於是，第一個串燒有 χ_0 的選擇，第二個串燒也有 χ_0 的選擇…即每一個串燒都有 χ_0 的選擇。於是，我們共有 (χ_0)^c 這麼多個選擇。換言之，我們至少已經擁有了 (χ_0)^c 個不可測集。根據基數的計算可知 (χ_0)^c ≧ 2^c. 因此我們證明了(＊). NOTE. 在 |R^n 也是一樣的。因此，我才畫一個圖供我自己記憶： □□□□□□□■■■■■■■ □□ □□■■■■■■■ □□ Ｌ □□■■ ■■ □□ □□■■ Ｎ ■■ ： 2^(|R^n) □□□□□□□■■ ■■ □□□□□□□■■■■■■■ □□Ｂ□□□□■■■■■■■ -- 接下來回答 tsaihohan 的提問: Ｂ 表示 Borel sigma algebra. 我們可以證明 #(Ｂ) ＝ c. 有了這一點，我們就可以回答存在一個 Lebesgue 可測集但非 Borel set. (這是一個方 法). 不過大部分老師教學裡都會用另外一種方法來解釋 (利用 Homeomorphism),這一點 我就不多說了，有必要再談… 回到不可測集合造法的部分。以下只是一個比較，沒多大的意思… 在 1970 年，R. Solovay 發表在 Ann. of math 裡頭證明了：在 |R 上， ┌──────────────────────┐ │ 選擇公設等價於不可測集合的存在性 │ └──────────────────────┘ 現在我們將討論兩個大師級人物書中所給的造法，基本上還是脫離不了分割，但是各有各 的長處，且最終都會回到相同的結論：任何一個集合 A 其外測度為正，即 m*(A)＞0, 則 A 裡頭必藏有不可測子集。 Zygmund Royden 。 (1) 引進 Vitali Lemma. (1) 定義新的加法 x＋y. NOTE. 這兩者都用到了 Lebesgue (外)測度的平移不變性。且在 Vitali Lemma 中我們 也用到了測度的可數可加性。 (2) 將 |R 分割成為一堆等價類。 (2) 將 [0,1] 分割成一堆等價類。 NOTE. 不論是哪一個大師的作法，都作出了不可數個等價類。 (3) 在 |R 上玩。 (3) 在 [0,1] 裡頭玩。 NOTE. 兩個大師都使用了選擇公設去證明不可測集合的存在性。 (4) 進一步地在 m*(A)＞0 上玩。 (4) 進一步地在 m*(A)＞0 上玩。 討論：就整體來看，較為不同的僅有一開始的考慮。Zygmund 使用了 Vitali lemma, 而 Royden 用新的加法，但這兩個大師的考慮，還是不脫離 Lebesgue 外測度之平移 不變性以及測度的可數可加性。 後記：在 Royden 的證明中，他僅用了兩個性質： (a) Lebesgue 外測度之平移不變性。 (b) 測度的可數可加性。 因此，留心於 Royden 的證明，我們會有下面的定理： 命 m 是一個測度定義於一 σ-algebra Ａ 上且滿足平移不變性。若 P 落於 Ａ, 則 m([0,1)) 不是 0 就是 ∞. -- ※ 編輯: math1209 來自: 114.32.219.116 (05/06 10:07)