※ 引述《Lindemann (永无止尽的无奈)》之铭言： : 我不是高手>_<,不过难道您没注意到数学系最重要的必修的课 : 高微,复变,代数,拓墣,机率,线代,实变,一开始都是先从介绍简单的集合论开始吗??? : 我认为集合论是最重要的一门入门课,但是觉得简介真的不太够最好单独开一学期 : 集合论学的好高微,代数,拓墣甚至实变才能学的扎实,这重要性是後来远出乎我的想像 : 真正跟集合论最有相关的课就数理逻辑而已,可惜台湾好像很少 : 这方面的老师,其实我大学就没修过和学过的大学程度的数学就数理逻辑而已XDD, : 我似乎是不需要懂到数理逻辑,不过还真的蛮想懂Godel不完备公理的(听说不难学) : 之前常回想大学为何实变和实数完备性都念不懂呢? : 应该是因为我的集合论太差>_< [这篇文章很长，大多是故事与心得…看不懂可以一起讨论，若有错请指正，谢谢。] 我是觉得这部分的学问可大可浅，就我个人的需要：元素、集合、函数、(等价)关系、 基(序)数等较为重要…而其他部分就不是那麽需要(而这其他部分大概说明一下就行了). 假使读者有兴趣，就自己去翻书看一看。 实数系统的完备性通常有两种方法：一种是 Cantor 分析方法，另一种是 Dedekind 的代 数方法…在经典名着里 Walter Rudin 於其高微本里有这两种。巧合的是这两篇论文都发 表在同时 (1872 年). 要是有兴趣可以先看一下数学传播里林琦焜教授写的，再看中央（ 台大) 退休教授王九逵於数学传播写的。王九逵教授将 Cantor 与 Dedekind 的方法合并 之。而实分析方面，我想还是从测度论着手较为恰当 (否则我个人觉得会会非常杂乱)。 测度方面的历程，我写在文末当备注。 NOTE. 关於 Cantor 这个利用科西序列的方法，比较好懂得是这一本书：(据说作者出了 一本是工数经典。Erwin Kreyszig 所写的 Introductory Functional Analysis with Applications). 以下将陈述我所知道的一些历史。(我参考了"确定性的失落"-作者：莫里斯‧克莱恩 着 译者：赵学信、出版社：台湾商务，这一本书。这部分当作闲谈吧…) 【1931, Godel's incompleteness theorem】 如果一个包含整数理论的数学系统 T 是一致，则 T 不会是完备。 於是，证明 ┌──────────────────────┐ │ 一致性的代价就是失去完备性 │ └──────────────────────┘ Godel 的想法与 Russel 的理发师悖论(Barber paradox)是类似的。Godel 这个不完备定 理对 Hilbert 是一个致命的打击。Hilbert 有个名言： We must know. We will know. 但 Godel告诉我们：这是不可能实现的。我个人的看法是：真理远远超过数学家所能证明 的…致命的一击：不能证明数学的一致性就表示了数学家极有可能在胡言乱语。 曙光：1940 年 (ＡＣ：选择公设, ＧＣＨ：广义连续统假设). Godel 证明了 ┌──────────────────────┐ │ ＺＦ－ＡＣ－ＧＣＨ 是一致的 │ └──────────────────────┘ 这也是 plover 说的我们常用的系统是 ＺＦＣ (Ｃ 指选择公设，关於选择公设见後文， ＺＦ 系统中的 Ｚ 与 Ｆ 指两个数学家：Zermelo 与 Fraenkel). Godel 并没有排除 ＺＦ 系统可以证明 (广义) 连续统假说或选择公设，直到 1963 年数学家 Cohen 证明了 (力迫法 forcing method) 选择公设与连续统假说都独立於 ＺＦ系统。换言之，ＺＦ 系 统无法证明 (广义) 连续统假说或者选择公设。 Cohen 关於连续统假说的结果意味着或许存在一个集合其基数介於 χ_0 与 χ_1 之间， 但是我们对这种集合一点概念都没有。 选择公设的接受与不接受： 不接受的话：很多基础问题都不能解了，像是函数的极值问题等。 接受了的话：会产生 Banach-Tarski paradox.(以现在来说，不能算是一个悖论了). 这个 paradox 蛮违背直觉的： 一个棒球可利用切割使其经由平移与旋转（而不改变其形状)可以拼凑出一个地球!!! 相关这方面的资料还有蛮多的，上 wiki 百科查询 Banach-Tarski paradox 即可。 -- 现在回到测度论上头，有些人 (包含我) 都没注意到 Royden 在他那本实分析里头的一个 NOTE. 之後为了资格考还特地整理了一下…以下是我当年准备的资料： 首先，让我们想一想一个区间的长度该怎麽被适当的定义？一个正常的想法是定义成两端 点之差的绝对值 (我们允许无穷大的可能性). 我们希望这样的想法可以尽量处理更多不同的集合。首先我们处理开集合，而开集 G 可 被写成可数多个区间 (disjoint) 的联集。因此，只要我们定义开集的长度为这些区间的 长度之和，这开集长度的问题也就被解决。然而，面对其他更为一般的集合时，我们就会 遇到困难。我们满心期待地希望存在一个集合函数 m 使得 (Ⅰ) 可以处理所有 |R 上的子集合。即 m 的定义域为 2^(|R). (Ⅱ) 不能背离区间长度的定义，即 m(I) ＝ |I|. 此处 |I| 表示区间长度的定义。 (Ⅲ) 满足可数可加性。 (Ⅳ) 满足平移不变性。 打击：Lebesgue 的测度理论告诉了我们不可能满足上述所有条件～ 即 Lebesgue 测度理 论告诉了我们：(Ⅱ), (Ⅲ), 且 (Ⅳ) 都成立，唯独 (Ⅰ) 无法成立。也就是说， 我们得弱化 (Ⅰ). 注意到一件事: 1970 年, Solovay 证实了不可测集的存在性与 选择公设等价。此外，我们还可以证明：将 |R^n 上的 Lebesgue 可测集收集起来 为一族且称为 Ｌ. 则 #(Ｌ) ＝ #(Ｎ), 其中Ｎ 表示不可测集合所形成之族。(这 点并不难证). 如下图： □□□□□□□■■■■■■■ □□ □□■■■■■■■ □□ Ｌ □□■■ ■■ □□ □□■■ Ｎ ■■ ： 2^(|R^n) □□□□□□□■■ ■■ □□□□□□□■■■■■■■ □□Ｂ□□□□■■■■■■■ 那麽数学家们就会退而求其次，不要满足 (Ⅳ). 能否有一集合函数满足 (Ⅰ), (Ⅱ), 与 (Ⅲ). 毕竟我们很想处理集合越多越好。然而，只要我们加入了连续统假设，那麽 Ulam 又告诉了我们这梦想破灭。 If we assume the Continuum Hypothesis, then there does not exist a set function m satisfying (1) m:P(|R) → [0,＋∞]. (2) m(I) ＝ |I|. (3) m is σ-additive. To show that such m does not exist, we consider the following result（＊)： (NOTE. This result is called "Ulam Theorem.") If μ:P(|R)→[0,＋∞], μ((n,n＋1])＜∞, μ({x})＝0, and μ is σ-additive, and if we assume the Continuum Hypothesis, then μ≡0. 数学家们只好再退。由於 (Ⅱ) 绝对不能省，为了满足 (Ⅰ), 则只能弱化 (Ⅲ) 去保留 (Ⅳ). 这一点就可以做到，基本上弱化 (Ⅲ) 有两种途径： 一种是所谓的 σ-subadditive, 即外测度理论。而另外一种是 finite-additive. NOTE. (1) 这里倒是可以看一看之前 ppia 写的相关文章。 (2) 最後 Ulam 定理可以在此书-Measure and Category by Oxtoby 找到。 [这本是刘丰 哲教授推荐的书，他曾对我说：作分析学的，一定要看过这一本书。] -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- 此处先回答 Lindemann 连续统假设 和 Ulam 定理这段：我在上文说过加入连续统假设没 关系，因为 ＺＦ－ＡＣ－ＧＣＨ 是一致的。所以即使你不加入连续统而讨论 (Ⅰ)、(Ⅱ) 与 (Ⅲ), 这样意义也不太大。至於这方面的书可见 Measure and Category by Oxtoby. 此外，有两点 (很像，但不相同) 是需要知道的。 藉由 Axiom of Choice, 我们可以得到下列之定理： (Theorem) 存在一个不可数集合 X 赋予整序 ＜ 後有如下之性质： (i) 存在最後元素 (last element) Ω in X. (ii) 若 x in X, 且 x ≠ Ω, 则 {y in X: y ＜ x} 为可数集。 连续统假设 (Continuum Hypothesis) 等价於 存在一个整(良)序 ＜, 使得对於所有 x in |R, {y in X: y ＜ x} 为可数集。 -- 此处接着回答 Lindemann 的提问：#(Ｌ)＝#(Ｎ), 这图表示了 可测集所成之族与不可测集所成之族是一样多的… 因为我们往往只会处理可测集（像是开集，紧致集都是), 因此用感觉来说，会猜测： #(Ｌ)＞#(Ｎ). 但事实并非如此。这个问题起源於清华程守庆教授於 2004 年实变课程中，有人提到 |R 上的不可测集所成之族比较多还是可测集所成之族比较多？为了回答这个问题，我们首先 了解一些事情： (1) Cantor set 是测度为 0 的可测集且其基数为 c. 故 C 的所有子集皆为可测集。 (2) 显然地，#(Ｌ) ≦ #(2^|R), 2^(|R) 为 |R 的所有子集合所成之族，即 power set. 藉由 (1) 可知 #(2^C) ≦ #(Ｌ), 而 #(2^C) ＝ 2^c. 再由 (2) 可知 #(Ｌ) ≦ #(2^|R) ＝ 2^c. 因此，#(Ｌ) ＝ 2^c. 现在只要能证明 #(Ｎ) ＝ 2^c 即可，而这一点只需要证明 2^c ≦ #(Ｎ). (＊) 为了证明 (＊）我们先回顾一下怎麽造出一个不可测集 (文末有更进一步的比较). (定理) There exists a non-measurable set in |R. 定义一个等价关系，利用等价关系，我们做了分割。视 |R 为下面的串烧的 collection. 0 x 0 x 我们有无穷多个串烧。事实上，藉由 |R 为不可数集合，可知有 " 不可数个 0 x 串烧 "。因为每一个串烧，都是可数个 (χ_0). . . . . 在每一个串烧中挑出一个 (选择公理)，记成 P. P 将是不可测集合。换言之，我们每一 个串烧吃一个，我们吃掉了一个不可测集合。[串烧之说的理解方法是清华退休教授-陈璋 泡教的…据说，他上过 Royden 的课，Cohen 好像那时候也在那边。] 於是，第一个串烧有 χ_0 的选择，第二个串烧也有 χ_0 的选择…即每一个串烧都有 χ_0 的选择。於是，我们共有 (χ_0)^c 这麽多个选择。换言之，我们至少已经拥有了 (χ_0)^c 个不可测集。根据基数的计算可知 (χ_0)^c ≧ 2^c. 因此我们证明了(＊). NOTE. 在 |R^n 也是一样的。因此，我才画一个图供我自己记忆： □□□□□□□■■■■■■■ □□ □□■■■■■■■ □□ Ｌ □□■■ ■■ □□ □□■■ Ｎ ■■ ： 2^(|R^n) □□□□□□□■■ ■■ □□□□□□□■■■■■■■ □□Ｂ□□□□■■■■■■■ -- 接下来回答 tsaihohan 的提问: Ｂ 表示 Borel sigma algebra. 我们可以证明 #(Ｂ) ＝ c. 有了这一点，我们就可以回答存在一个 Lebesgue 可测集但非 Borel set. (这是一个方 法). 不过大部分老师教学里都会用另外一种方法来解释 (利用 Homeomorphism),这一点 我就不多说了，有必要再谈… 回到不可测集合造法的部分。以下只是一个比较，没多大的意思… 在 1970 年，R. Solovay 发表在 Ann. of math 里头证明了：在 |R 上， ┌──────────────────────┐ │ 选择公设等价於不可测集合的存在性 │ └──────────────────────┘ 现在我们将讨论两个大师级人物书中所给的造法，基本上还是脱离不了分割，但是各有各 的长处，且最终都会回到相同的结论：任何一个集合 A 其外测度为正，即 m*(A)＞0, 则 A 里头必藏有不可测子集。 Zygmund Royden 。 (1) 引进 Vitali Lemma. (1) 定义新的加法 x＋y. NOTE. 这两者都用到了 Lebesgue (外)测度的平移不变性。且在 Vitali Lemma 中我们 也用到了测度的可数可加性。 (2) 将 |R 分割成为一堆等价类。 (2) 将 [0,1] 分割成一堆等价类。 NOTE. 不论是哪一个大师的作法，都作出了不可数个等价类。 (3) 在 |R 上玩。 (3) 在 [0,1] 里头玩。 NOTE. 两个大师都使用了选择公设去证明不可测集合的存在性。 (4) 进一步地在 m*(A)＞0 上玩。 (4) 进一步地在 m*(A)＞0 上玩。 讨论：就整体来看，较为不同的仅有一开始的考虑。Zygmund 使用了 Vitali lemma, 而 Royden 用新的加法，但这两个大师的考虑，还是不脱离 Lebesgue 外测度之平移 不变性以及测度的可数可加性。 後记：在 Royden 的证明中，他仅用了两个性质： (a) Lebesgue 外测度之平移不变性。 (b) 测度的可数可加性。 因此，留心於 Royden 的证明，我们会有下面的定理： 命 m 是一个测度定义於一 σ-algebra Ａ 上且满足平移不变性。若 P 落於 Ａ, 则 m([0,1)) 不是 0 就是 ∞. -- ※ 编辑: math1209 来自: 114.32.219.116 (05/06 10:07)