請注意命題.. 原題： 參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就 可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人是知道哪一扇門後面有汽 車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其 中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題 是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設設置時 汽車在每一扇門後面的機率均等，且若參賽者一開始就選到汽車，主持人打開剩下兩扇門 的機率均等。） 修改後題目： 參賽者看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就 可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊，主持人不知道哪一 扇門後面有汽車的。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩 下兩扇門的其中一扇（因為不知道哪一扇後面有汽車，故主持人機會均等地打開兩扇門的 其中一扇），露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。 問題是：換另一扇參賽者贏得汽車的機率？沒特別說明的條件都是隨機的。（亦即假設設 置時汽車在每一扇門後面的機率均等。） ---------------- 參考資料： http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf 這位教授的paper意思是說, 假設編號門 1,2,3 令事件 A = 車在門 1 後面 B = 車在門 2 後面 C = 車在門 3 後面 D = 主持人打開門 3 且假設 : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 Proportional Principle 是說 P(A|D) = P(A&D)/P(D) P(B|D) = P(B&D)/P(D) P(C|D) = P(C&D)/P(D) 又 P(D|A) = P(A&D)/P(A) P(D|B) = P(B&D)/P(B) P(D|C) = P(C&D)/P(C) 所以 P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = P(D|A) : P(D|B) :P(D|C) ----------- 原題 當你選門1 主持人開門3 P(D|A) = 1/2 基於"主持人隨機開二羊之一"的假設 P(D|B) = 1 必須開3因為2是車 P(D|C) = 0 不可以開到車 所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1 : 0 normalize之後是 1/3 : 2/3 : 0 故換了會中的機率是 2/3 主持人不知道 當你選門1 主持人開門3 P(D|A) = 1/2 因為1/2亂開 且不會是車 P(D|B) = 1/2 因為他是亂開 且3也沒車 P(D|C) = 0 不可以開到車 與"開出來是羊" 所以 所求P(A|D) : P(B|D) : P(C|D) = 1/2 : 1/2 : 0 故換了會中的機率是 1/2 若不知道主持人知不知道? 則 [1] 若主持人知道 換有利 [2] 若不知道 吃沒差 -> 當然換 這是賽局xD 我覺得要討論的話就要寫出點東西= =a 原本我也很堅持啊 數學國不會因為算錯而羞恥 但是一輩子不確定答案想到就冷汗直流.. 非常歡迎各位提出反駁 以上論證何處有瑕疵 不要用"自己的對所以對方不對"來說 另外我要強調 這是我看來的 我也沒認為這樣一定對 so 如果有人幫忙驗證或偵錯都非常好 -- 如果沒有末班車， 我們就數著花瓣去旅行。 --

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