※ 引述《dreamingaway (Wherever I May Roam)》之銘言： : P(N) is the power set of natural numbers N : prove that ｜P(N)｜ = ｜R｜ : i.e., the cardinality of P(N) is equal to that of R : 似乎可以用二進位去看!? 可以使用二進位去看! 但需一些轉折去說明 n 進位的"表示法不唯一"並不會影響到其"基 數"。以下就是一個不嚴謹的方法： 我們不妨這樣想：當我們寫 [0,1] 為二進位寫法，則 x 可以寫成 x ＝ 0. a_1 a_2 a_3 a_4 ．．． a_n．．． 每一個 a_i 僅有兩種可能性。(若 x＝1, 寫 x ＝ 0.111111．．．111．．) 故 [0,1] 的個數有： 2 * 2 * 2 * ．．． * 2 * ．．． 共有 χ_0 個 2 相乘。 故 #([0,1]) ＝ 2^(χ_0). 因此； #(|R) :＝ c ≧ 2^(χ_0). 至於 c ≦ 2^(χ_0)，你可以想一想．．． NOTE. (1) 由上述不"嚴謹"的手法，易知 p^(χ_0) ＝ c, 其中 p(＞1) 為正整數。 [結論是對的]. (2) 給你一張圖 [基數論] …這張圖在測度論，維度論，基數論…都有類似的結果。 (v) . . . 此 (i) ↑______ c :＝ #(|R) ＝ (iii) 圖 |←－－－－－－－ (iv) 乃 | 表 ______ χ_0 :＝ #(|N) 示 (ii) ↓ . 集 . 合 n 註解：χ_0 稱之為 aleph zero, 或 個 . aleph null. 此數乃是最小的 數 . 無窮基數。 之 . 基數 (原文： cardinal number) 大 2 小 1 關 0 係 解釋： (i) 凡是有一個集合 S 的個數 #(S) ≧ c, 則稱 S 為不可數集合。 且若有一個集合 S 的個數 #(S) ≧ c, 顯然此集合必為無窮集合。 (ii) 凡是有一個集合 S 的個數 #(S) ≦ χ_0, 則稱 S 為可數集合。 且若有一個集合 S 的個數 #(S) ＝ χ_0, 則此集合必為無窮集合。 由 (i) 與 (ii), 很自然地知道只要有一個集合 S 的個數 #(S) ≧ χ_0, 則此集合必為無窮集合。 (iii) Cantor 證明了 c ＝ 2^(χ_0). (iv) Cantor 終其一生都在證明到底在 χ_0 與 2^(χ_0) ＝ c 之間有沒 有其他的基數？也就是說，是否存在一個基數 α 介於 χ_0 與 c 之 間？ 即： χ_0 ＜ α ＜ c. (這是鼎鼎大名的連續統假說) (v) 此乃指無最大基數之定理。這也是 Cantor 證明的。 -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 編輯: math1209 來自: 220.133.4.14 (01/12 01:44)