※ 引述《dreamingaway (Wherever I May Roam)》之铭言： : P(N) is the power set of natural numbers N : prove that ｜P(N)｜ = ｜R｜ : i.e., the cardinality of P(N) is equal to that of R : 似乎可以用二进位去看!? 可以使用二进位去看! 但需一些转折去说明 n 进位的"表示法不唯一"并不会影响到其"基 数"。以下就是一个不严谨的方法： 我们不妨这样想：当我们写 [0,1] 为二进位写法，则 x 可以写成 x ＝ 0. a_1 a_2 a_3 a_4 ．．． a_n．．． 每一个 a_i 仅有两种可能性。(若 x＝1, 写 x ＝ 0.111111．．．111．．) 故 [0,1] 的个数有： 2 * 2 * 2 * ．．． * 2 * ．．． 共有 χ_0 个 2 相乘。 故 #([0,1]) ＝ 2^(χ_0). 因此； #(|R) :＝ c ≧ 2^(χ_0). 至於 c ≦ 2^(χ_0)，你可以想一想．．． NOTE. (1) 由上述不"严谨"的手法，易知 p^(χ_0) ＝ c, 其中 p(＞1) 为正整数。 [结论是对的]. (2) 给你一张图 [基数论] …这张图在测度论，维度论，基数论…都有类似的结果。 (v) . . . 此 (i) ↑______ c :＝ #(|R) ＝ (iii) 图 |←－－－－－－－ (iv) 乃 | 表 ______ χ_0 :＝ #(|N) 示 (ii) ↓ . 集 . 合 n 注解：χ_0 称之为 aleph zero, 或 个 . aleph null. 此数乃是最小的 数 . 无穷基数。 之 . 基数 (原文： cardinal number) 大 2 小 1 关 0 系 解释： (i) 凡是有一个集合 S 的个数 #(S) ≧ c, 则称 S 为不可数集合。 且若有一个集合 S 的个数 #(S) ≧ c, 显然此集合必为无穷集合。 (ii) 凡是有一个集合 S 的个数 #(S) ≦ χ_0, 则称 S 为可数集合。 且若有一个集合 S 的个数 #(S) ＝ χ_0, 则此集合必为无穷集合。 由 (i) 与 (ii), 很自然地知道只要有一个集合 S 的个数 #(S) ≧ χ_0, 则此集合必为无穷集合。 (iii) Cantor 证明了 c ＝ 2^(χ_0). (iv) Cantor 终其一生都在证明到底在 χ_0 与 2^(χ_0) ＝ c 之间有没 有其他的基数？也就是说，是否存在一个基数 α 介於 χ_0 与 c 之 间？ 即： χ_0 ＜ α ＜ c. (这是鼎鼎大名的连续统假说) (v) 此乃指无最大基数之定理。这也是 Cantor 证明的。 -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 编辑: math1209 来自: 220.133.4.14 (01/12 01:44)