作者Dirichlet (微風輕吹)
看板Math
標題Re: 質數問題
時間Sun Nov 4 17:55:44 2007
※ 引述《bigjuto (夜夜夜夜)》之銘言：
: ※ 引述《Hatred (即將燒盡的蠟燭)》之銘言：
: : 我想應該可以只要證明質數無窮多即可.
: : 假設質數只有有限個. 令 P_1, ..., P_N 是所有質數, 則 P_1 * ... * P_N - 1
: : 比 P_1, ..., P_N 都大, 因此不是質數. 這表示應有 P_i, 1\leq i\leq N 可整除
: : P_1 * ... * P_N - 1, 矛盾.
: : 還是說你真正想證的是 summation(1/Pn)-->infinity?
: 不好?思 剛睡醒 腦袋不清楚
: 應該是要證 summation(1/Pn)-->infinity n=1....infinity
: 謝謝
考慮到正整數 N 可寫成質數的乘冪，
且 N 的質因數明顯地都可以在前 N 個質數中找到。
令 P_i 是第 i 個質數，有
1 + 1/2 + ... + 1/N
< (Σ_[0,n_1] 1/(P_1)^k) * ... * (Σ_[0,n_N] 1/(P_N)^k)
(對夠大的 n_1, n_2, ..., n_N 上式成立。)
< (Σ_[0,oo] 1/(P_1)^k) * ... * (Σ_[0,oo] 1/(P_N)^k)
= Π_[1,N] (1 - 1/P_i)^(-1)
= Π_[1,N] (1 + 1/[(P_i)-1])
因 Σ 1/n 發散，故 Π (1 + 1/[(P_n)-1]) 發散。
=> Σ 1/[(P_n)-1]) 發散。
=> Σ 1/P_n 發散。
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