作者Dirichlet (微风轻吹)
看板Math
标题Re: 质数问题
时间Sun Nov 4 17:55:44 2007
※ 引述《bigjuto (夜夜夜夜)》之铭言：
: ※ 引述《Hatred (即将烧尽的蜡烛)》之铭言：
: : 我想应该可以只要证明质数无穷多即可.
: : 假设质数只有有限个. 令 P_1, ..., P_N 是所有质数, 则 P_1 * ... * P_N - 1
: : 比 P_1, ..., P_N 都大, 因此不是质数. 这表示应有 P_i, 1\leq i\leq N 可整除
: : P_1 * ... * P_N - 1, 矛盾.
: : 还是说你真正想证的是 summation(1/Pn)-->infinity?
: 不好?思 刚睡醒 脑袋不清楚
: 应该是要证 summation(1/Pn)-->infinity n=1....infinity
: 谢谢
考虑到正整数 N 可写成质数的乘幂，
且 N 的质因数明显地都可以在前 N 个质数中找到。
令 P_i 是第 i 个质数，有
1 + 1/2 + ... + 1/N
< (Σ_[0,n_1] 1/(P_1)^k) * ... * (Σ_[0,n_N] 1/(P_N)^k)
(对够大的 n_1, n_2, ..., n_N 上式成立。)
< (Σ_[0,oo] 1/(P_1)^k) * ... * (Σ_[0,oo] 1/(P_N)^k)
= Π_[1,N] (1 - 1/P_i)^(-1)
= Π_[1,N] (1 + 1/[(P_i)-1])
因 Σ 1/n 发散，故 Π (1 + 1/[(P_n)-1]) 发散。
=> Σ 1/[(P_n)-1]) 发散。
=> Σ 1/P_n 发散。
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