※ 引述《Leaf789 (葉)》之銘言： : 一塊蛋糕分給三個人 : 如果以數學計算 : 分數一人可得三分之一塊 : _ : 小數一人可得0.3 : 那麼... 一人拿到蛋糕的0.3塊 : 在還原，蛋糕變成0.9塊 : 剩下0.1塊跑到哪去了.... = ="? : _ : 老師有解說過 0.9=1 : 但是我還是不懂為什麼Orz 剛開始看到這篇文章覺得很可愛，但想了想之後，發覺其實這個看似簡單的問題背後 蘊藏著一個很重要的觀念，那就是極限的觀念。 _ 首先先不用嚴密的方法來說明，先用輕鬆一點的方式來解釋為什麼0.9在數學上會認定 _ 等於1，我門來看0.9<1沒錯吧!0.999<1也沒錯，0.9999999999<1也沒錯，但0.9呢? _ 我稱0.9為一個動態的數目，什麼叫動態?就是他是一個有生命的數目，他會一直衝向 1,他不會累，他充滿活力不顧一切的向1來衝，不曾停過，反觀0.9，這是一個死的數目 ，他沒有生命，他就像條死魚躺在數線上，他不會動。這就是循環小數和非循環小數 _ 的最大差異，一個有生命，一個沒有生命。就因為0.9是那麼的努力向1來衝，你忍心說他 <1嗎?想像一下國際馬拉松賽跑大家都很累，但是有一個人提早放棄，所幸放棄比賽 坐在地上休息不跑了，另一個人則是咬僅牙根，就算他知道他永遠達不了終點，他也 要抬起腳步，就算前進一公分也好，他也不放棄，請問你會宣布他沒跑到終點而不給他 _ 跑完全程的證明嗎??你忍心嗎??當然不忍心，同樣的，0.9好像小於一沒錯，但他和一 之間的距離一直縮小，一直縮小，他一值在衝，不曾停過，他不像0.9999或0.999999999 _ 一樣放棄比賽，所以我門敬佩0.9的毅力，我門頒給他跑完全程的證明書，我門就說 _ 0.9你辛苦了，你是等於1的。有沒有很生動的感覺呢?? _ _ 現在來用嚴密的方法來說明0.9為何等於1，其實這最正確最好的說法是0.9的極限等於1 _ ，說0.9=1其實是個很省略的講法，應該要加極限兩個字，這個=號有更深層的意義 ，就是代表一個極限的意思。 微積分裡頭說一個數列{a_n}存在極限的定義是 對於任一ε>0，我們都可以找到一個正整數N，使得若N<n的話，則 |a_n-L|<ε _ ，則我門就說數列{a_n}的極限存在且為L，現在我門就用這個定義來檢查 0.9是否 存在1這個極限。 證: 令{a_n}={0.9 , 0.99 , 0.999 , 0.999 , ..... } 我門知到 1-a_n=0.1^n ，所以假設我門取了一個ε>0，則必存在一個η使得 0.1^η<ε(應該是實數的稠密性吧)，所以我門可以取正整數 N>η ，如此 在n>N的前提下，|a_n-1|=0.1^n<0.1^N<0.1^η<ε故知{a_n}存在極限1 證畢 --

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