※ 引述《Leaf789 (叶)》之铭言： : 一块蛋糕分给三个人 : 如果以数学计算 : 分数一人可得三分之一块 : _ : 小数一人可得0.3 : 那麽... 一人拿到蛋糕的0.3块 : 在还原，蛋糕变成0.9块 : 剩下0.1块跑到哪去了.... = ="? : _ : 老师有解说过 0.9=1 : 但是我还是不懂为什麽Orz 刚开始看到这篇文章觉得很可爱，但想了想之後，发觉其实这个看似简单的问题背後 蕴藏着一个很重要的观念，那就是极限的观念。 _ 首先先不用严密的方法来说明，先用轻松一点的方式来解释为什麽0.9在数学上会认定 _ 等於1，我门来看0.9<1没错吧!0.999<1也没错，0.9999999999<1也没错，但0.9呢? _ 我称0.9为一个动态的数目，什麽叫动态?就是他是一个有生命的数目，他会一直冲向 1,他不会累，他充满活力不顾一切的向1来冲，不曾停过，反观0.9，这是一个死的数目 ，他没有生命，他就像条死鱼躺在数线上，他不会动。这就是循环小数和非循环小数 _ 的最大差异，一个有生命，一个没有生命。就因为0.9是那麽的努力向1来冲，你忍心说他 <1吗?想像一下国际马拉松赛跑大家都很累，但是有一个人提早放弃，所幸放弃比赛 坐在地上休息不跑了，另一个人则是咬仅牙根，就算他知道他永远达不了终点，他也 要抬起脚步，就算前进一公分也好，他也不放弃，请问你会宣布他没跑到终点而不给他 _ 跑完全程的证明吗??你忍心吗??当然不忍心，同样的，0.9好像小於一没错，但他和一 之间的距离一直缩小，一直缩小，他一值在冲，不曾停过，他不像0.9999或0.999999999 _ 一样放弃比赛，所以我门敬佩0.9的毅力，我门颁给他跑完全程的证明书，我门就说 _ 0.9你辛苦了，你是等於1的。有没有很生动的感觉呢?? _ _ 现在来用严密的方法来说明0.9为何等於1，其实这最正确最好的说法是0.9的极限等於1 _ ，说0.9=1其实是个很省略的讲法，应该要加极限两个字，这个=号有更深层的意义 ，就是代表一个极限的意思。 微积分里头说一个数列{a_n}存在极限的定义是 对於任一ε>0，我们都可以找到一个正整数N，使得若N<n的话，则 |a_n-L|<ε _ ，则我门就说数列{a_n}的极限存在且为L，现在我门就用这个定义来检查 0.9是否 存在1这个极限。 证: 令{a_n}={0.9 , 0.99 , 0.999 , 0.999 , ..... } 我门知到 1-a_n=0.1^n ，所以假设我门取了一个ε>0，则必存在一个η使得 0.1^η<ε(应该是实数的稠密性吧)，所以我门可以取正整数 N>η ，如此 在n>N的前提下，|a_n-1|=0.1^n<0.1^N<0.1^η<ε故知{a_n}存在极限1 证毕 --

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