[舊文轉貼] 與 mantour 說的差不多啦! 這裡要談的觀念是: 當 x 逼近 a 時, f(x) 有極限 L。 所謂 "f(x) 有極限 L" 是在講甚麼? 基本上我們的意思是: f(x) 很靠近 L。 多靠近? 你說要多靠近都做得到, 但不能要求 "f(x)=L"。 我希望 |f(x)-L|<.0001, 做得到嗎? 只要 x 夠接近 a, 但 x<>a, 一定要做得到! 那麼, 要求 |f(x)-L|<.000000000001 呢? 沒問題! 只要 x 夠接近 a, 而且 x<>a。 那麼...是不是我隨便說一個數 e>0, 只要 x 夠接近 a, 而且 x<>a, 就能保証 |f(x)-L|<e? 沒錯! 極限就是這個意思! 可是...甚麼叫 "x 夠接近 a" (而且還要 x<>a)? 問得好! "f(x) 靠近 L" 不稀奇; 但它是有條件的, 那就是 "x 夠接近 a, 而且 x<>a"。所以, 我們必須 有個標準來評估是否 "x 夠接近 a"? 我們可能取一個標準 d>0, 凡是 0<|x-a|<d, 也就是 x 和 a 的距離小於 d, 就說 x 夠靠近 a。 那... d 要取多少? 0.1? 0.01? 注意 d 不能任意取的, 因為極限的意思是說 只要 x 夠接近 a, 而且 x<>a, 就保証 |f(x)-L|<e 如果 d 取得太大, 就不能保証 |f(x)-L|<e 了! 所以, 一般 d 的選取是要看 e 來決定的; 當然, 除了 e 的 大小會影響到 d 以外, x 及函數 f 的形式也會有影響。 好像滿難的? 能不能舉個例子? 舉個例子: : lim x^2=4 : x->2 這個極限式的意思是: 你可任意地要求 x^2 夠接近 4, 只要你將 x 取得夠靠近 2, 但 x<>2. 換言之: 你可任意訂定一個標準 e, 你希望 |x^2-4|<e. 而這件事確實做得到--- 只要你將 x 取得夠靠近 2, 並且 x<>2. 何謂 "x 夠靠近 2"? 它的意思就是: 你找到一個標準 d. 若 |x-2|<d, 則可說 "x 夠靠近 2"。 因此, 合起來是說: 任意給一個 e>0, 一定可找到一個 d>0. 若 0<|x-2|<d (x夠靠近 2, 但不等於 2). 則可保証 |x^2-4|<e。 要証明上面這段敘述, 則必須找一個 d>0, 使得 0<|x-2|<d 時一定能滿足 |x^2-4|<e。 [証明] 因為 |x^2-4|=|x+2|*|x-2|, 所以 |x^2-4|<e 即 |x-2|<e/|x+2|。 這裡遭遇一個困難...|x+2| 是多少? 由於我們關心 x-->2 的情形, 因此 |x-2| 可以限制 ... 例如 |x-2|<2, 則 0<x<4。 這時候, e/6 < e/|x+2| < e/2. 所以: 若 |x-2|<2 且 |x-2|<e/6, 則 |x-2| < e/|x+2|, 因此 |x^2-4|<e。 於是我們得到下述結果: 對任意 e>0, 取 d=min{2,e/6}, 當 0<|x-2|<d 時, 必可得 |x^2-4|<e。 ※ 引述《thezi (未知)》之銘言： : : 可以限制 ... 例如 |x-2|<2, 則 0<x<4。 : ^^^^^^^^^^^^^ : 我看不懂這一行@@ : "例如"是什麼意思 : 可以選別的嗎 : |x-2|<1 則 1<x<3 可以. 只是為了給 |x+2| 一個界限. 限制 |x-2|<1, 則 1<x<3, 因此 |x^2-4| = |x+2|．|x-2| < 5|x-2| 若加上 0<|x-2|<e/5 的條件, 則 |x^2-4| < 5(e/5) = e 也就是說: 對任意 e>0, 取 d=min{1,e/5}, 當 0<|x-2|<d 時必有 |x^2-4|<e. -- 嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! 統計專業版, 需要你的支持! :) 批踢踢實業站 telnet://ptt.cc Statistics (統計學及統計軟體版) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) 無名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (統計方法討論區) --

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