[旧文转贴] 与 mantour 说的差不多啦! 这里要谈的观念是: 当 x 逼近 a 时, f(x) 有极限 L。 所谓 "f(x) 有极限 L" 是在讲甚麽? 基本上我们的意思是: f(x) 很靠近 L。 多靠近? 你说要多靠近都做得到, 但不能要求 "f(x)=L"。 我希望 |f(x)-L|<.0001, 做得到吗? 只要 x 够接近 a, 但 x<>a, 一定要做得到! 那麽, 要求 |f(x)-L|<.000000000001 呢? 没问题! 只要 x 够接近 a, 而且 x<>a。 那麽...是不是我随便说一个数 e>0, 只要 x 够接近 a, 而且 x<>a, 就能保证 |f(x)-L|<e? 没错! 极限就是这个意思! 可是...甚麽叫 "x 够接近 a" (而且还要 x<>a)? 问得好! "f(x) 靠近 L" 不稀奇; 但它是有条件的, 那就是 "x 够接近 a, 而且 x<>a"。所以, 我们必须 有个标准来评估是否 "x 够接近 a"? 我们可能取一个标准 d>0, 凡是 0<|x-a|<d, 也就是 x 和 a 的距离小於 d, 就说 x 够靠近 a。 那... d 要取多少? 0.1? 0.01? 注意 d 不能任意取的, 因为极限的意思是说 只要 x 够接近 a, 而且 x<>a, 就保证 |f(x)-L|<e 如果 d 取得太大, 就不能保证 |f(x)-L|<e 了! 所以, 一般 d 的选取是要看 e 来决定的; 当然, 除了 e 的 大小会影响到 d 以外, x 及函数 f 的形式也会有影响。 好像满难的? 能不能举个例子? 举个例子: : lim x^2=4 : x->2 这个极限式的意思是: 你可任意地要求 x^2 够接近 4, 只要你将 x 取得够靠近 2, 但 x<>2. 换言之: 你可任意订定一个标准 e, 你希望 |x^2-4|<e. 而这件事确实做得到--- 只要你将 x 取得够靠近 2, 并且 x<>2. 何谓 "x 够靠近 2"? 它的意思就是: 你找到一个标准 d. 若 |x-2|<d, 则可说 "x 够靠近 2"。 因此, 合起来是说: 任意给一个 e>0, 一定可找到一个 d>0. 若 0<|x-2|<d (x够靠近 2, 但不等於 2). 则可保证 |x^2-4|<e。 要证明上面这段叙述, 则必须找一个 d>0, 使得 0<|x-2|<d 时一定能满足 |x^2-4|<e。 [证明] 因为 |x^2-4|=|x+2|*|x-2|, 所以 |x^2-4|<e 即 |x-2|<e/|x+2|。 这里遭遇一个困难...|x+2| 是多少? 由於我们关心 x-->2 的情形, 因此 |x-2| 可以限制 ... 例如 |x-2|<2, 则 0<x<4。 这时候, e/6 < e/|x+2| < e/2. 所以: 若 |x-2|<2 且 |x-2|<e/6, 则 |x-2| < e/|x+2|, 因此 |x^2-4|<e。 於是我们得到下述结果: 对任意 e>0, 取 d=min{2,e/6}, 当 0<|x-2|<d 时, 必可得 |x^2-4|<e。 ※ 引述《thezi (未知)》之铭言： : : 可以限制 ... 例如 |x-2|<2, 则 0<x<4。 : ^^^^^^^^^^^^^ : 我看不懂这一行@@ : "例如"是什麽意思 : 可以选别的吗 : |x-2|<1 则 1<x<3 可以. 只是为了给 |x+2| 一个界限. 限制 |x-2|<1, 则 1<x<3, 因此 |x^2-4| = |x+2|．|x-2| < 5|x-2| 若加上 0<|x-2|<e/5 的条件, 则 |x^2-4| < 5(e/5) = e 也就是说: 对任意 e>0, 取 d=min{1,e/5}, 当 0<|x-2|<d 时必有 |x^2-4|<e. -- 嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! 统计专业版, 需要你的支持! :) 批踢踢实业站 telnet://ptt.cc Statistics (统计学及统计软体版) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) 无名小站 telnet://wretch.twbbs.org Statistics (统计方法讨论区) --

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