※ 引述《sky91302018 (sky)》之銘言： : 希望有人可以替我解惑，感激不盡 : 極限定義 : lim f(x) = L 等價於 : x→c : 對每一 ε＞0,存在一δ＞0,使得 : 若0＜∣x-c∣＜δ,則∣f(x)-L∣＜ε : 我的問題在於為什麼先對於ε定義有一個δ與之對應,而在0＜∣x-c∣＜δ這個部份卻先談到δ : 就能推到∣f(x)-L∣＜ε 並不是先對於每個ε去定義一個δ 而是對於給定的ε，去找一個δ來滿足「使得」後面的條件 當然可能找得到，也可能找不到這樣的δ 而這個定義就是說，如果可以證明對任意的ε一定找得到這樣的δ的話 我們才能說 lim f(x) = L x-> : 不知道大家懂ㄉ我問ㄉ問題嗎? 這個定義用白話來說就是 lim f(x) = L x->c 的意思是 「只要x夠接近c , f(x)就會無限地接近L」 而所謂無限地接近的意思呢，就是要多近就有多近 舉例來說， f(x) = x^2 lim f(x) = 0 x->0 這是什麼意思呢？ 就是說假如你希望f(x)接近0到某個程度，例如|f(x)-0| < 0.01 只要取x到足夠接近0就可以辦到 什麼叫作x足夠接近0呢？ 在這個例子裡，只要 0< |x-0| < 0.1 , 則 |f(x)-0|就會小於0.01 如果你希望 |f(x)-0|<0.0001 那麼就必須要求x更接近0 , 例如 0< |x-0| < 0.01 時即可達到這個要求 也就是說，不管你要求 |f(x)-L| 有多小 只要x離c夠近就可以辦到 所以用符號表示就是說 對於任意的正數 ε 我都可以在c附近找到一個小區間 (c-δ,c+δ) 在這個區間內 ，除了c以外的所有x都滿足 |f(x)-L|<ε 如果以上這樣的區間一定找得到的話 我們就說 lim f(x) = L x-> c 因此要證明lim f(x) = L x->c 我們所要做的，就是去說明對於任意的ε，如何去找到δ 如果你能給出一個方法使得對每個ε都能找到對應的δ的話 那就證完了 反之，如果我可以舉出一個ε ，使得不管δ取得再小， 在(c-δ,c+δ)內都還會有某些x(除了c以外)使得 |f(x)-L| >= ε 這時「只要x夠接近c，f(x)就會無限接近L」顯然就錯了 這時我們就說lim f(x) ≠ L x->c 所以重要的是能夠體會 「只要x夠接近c，f(x)就會無限接近L」 這句話的意涵，就會覺得極限的定義真是再自然不過了 長篇大論讓大家見笑了 希望對原po有幫助 --

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