※ 引述《sky91302018 (sky)》之铭言： : 希望有人可以替我解惑，感激不尽 : 极限定义 : lim f(x) = L 等价於 : x→c : 对每一 ε＞0,存在一δ＞0,使得 : 若0＜∣x-c∣＜δ,则∣f(x)-L∣＜ε : 我的问题在於为什麽先对於ε定义有一个δ与之对应,而在0＜∣x-c∣＜δ这个部份却先谈到δ : 就能推到∣f(x)-L∣＜ε 并不是先对於每个ε去定义一个δ 而是对於给定的ε，去找一个δ来满足「使得」後面的条件 当然可能找得到，也可能找不到这样的δ 而这个定义就是说，如果可以证明对任意的ε一定找得到这样的δ的话 我们才能说 lim f(x) = L x-> : 不知道大家懂ㄉ我问ㄉ问题吗? 这个定义用白话来说就是 lim f(x) = L x->c 的意思是 「只要x够接近c , f(x)就会无限地接近L」 而所谓无限地接近的意思呢，就是要多近就有多近 举例来说， f(x) = x^2 lim f(x) = 0 x->0 这是什麽意思呢？ 就是说假如你希望f(x)接近0到某个程度，例如|f(x)-0| < 0.01 只要取x到足够接近0就可以办到 什麽叫作x足够接近0呢？ 在这个例子里，只要 0< |x-0| < 0.1 , 则 |f(x)-0|就会小於0.01 如果你希望 |f(x)-0|<0.0001 那麽就必须要求x更接近0 , 例如 0< |x-0| < 0.01 时即可达到这个要求 也就是说，不管你要求 |f(x)-L| 有多小 只要x离c够近就可以办到 所以用符号表示就是说 对於任意的正数 ε 我都可以在c附近找到一个小区间 (c-δ,c+δ) 在这个区间内 ，除了c以外的所有x都满足 |f(x)-L|<ε 如果以上这样的区间一定找得到的话 我们就说 lim f(x) = L x-> c 因此要证明lim f(x) = L x->c 我们所要做的，就是去说明对於任意的ε，如何去找到δ 如果你能给出一个方法使得对每个ε都能找到对应的δ的话 那就证完了 反之，如果我可以举出一个ε ，使得不管δ取得再小， 在(c-δ,c+δ)内都还会有某些x(除了c以外)使得 |f(x)-L| >= ε 这时「只要x够接近c，f(x)就会无限接近L」显然就错了 这时我们就说lim f(x) ≠ L x->c 所以重要的是能够体会 「只要x够接近c，f(x)就会无限接近L」 这句话的意涵，就会觉得极限的定义真是再自然不过了 长篇大论让大家见笑了 希望对原po有帮助 --

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