作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題[微積] 關於 sin(x)/x 當 x→0 之極限
時間Mon Apr 23 12:28:52 2007
先前我一直強調 "不能引用 L'Hopital's rule", 何故?
首先, 依大一微積分(或 "初微")的方法,通常是採用高中
數學的定義方式: 幾何的, 或解析幾何的, 定義 sin(x)
與 cos(x), 而後以幾何方法配合圓面積公式證明
sin(x)/x → 1 當 x→0
而據此導出 D(sin(x)) = cos(x). 因此,應用 D(sin(x))
公式導出 "sin(x)/x → 1 當 x→0" 的方法,都是循環論
證, 所以不能用!
當然如果不是用初微的方法, 也就是不利用幾何或解析幾
何定義 sin, cos 及 lim sin(x)/x = 1 導出 D(sin(x)),
x→0
則沒有錯, 但仍不宜引用 L'Hopital's rule.
有幾種方式定義三角函數, 例如應用 power series 理論,
以 power series 定義 sin(x) 與 cos(x), 並得其導數;
或由微分方程式
y"+y=0, y(0)=0, y'(0)=1 定義 y=sin(x)
然後 cos(x)≡y'
或以積分定義 arc sin (x), 即 sin^{-1}(x), 然後定義
出 sin(x) 及 cos(x), 再得出 D(sin(x))=cos(x).
然後
lim sin(x)/x = 1
x→0
成為依 D(sin(x))=cos(x) 證得的結果, 即:
lim sin(x)/x = lim (sin(x)-sin(0))/(x-0)
x→0 x→0
≡ D(sin(x))|
| x=0
= cos(0) = 1
依定義, 而非依 L'Hopital's rule 得結論.
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※ 編輯: yhliu 來自: 163.15.188.87 (04/23 12:45)
1F：推 CCWck:用泰勒定義sinx的話 應該是比較容易了解的 04/23 13:00
2F：推 andyjy12:sin微分的定義,不是會用到sinx/x ? 04/23 16:03
3F：→ goshfju:我只會畫圖 XD 04/23 16:30
4F：推 satipatthana:很清楚^^ 04/24 16:08