作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题[微积] 关於 sin(x)/x 当 x→0 之极限
时间Mon Apr 23 12:28:52 2007
先前我一直强调 "不能引用 L'Hopital's rule", 何故?
首先, 依大一微积分(或 "初微")的方法,通常是采用高中
数学的定义方式: 几何的, 或解析几何的, 定义 sin(x)
与 cos(x), 而後以几何方法配合圆面积公式证明
sin(x)/x → 1 当 x→0
而据此导出 D(sin(x)) = cos(x). 因此,应用 D(sin(x))
公式导出 "sin(x)/x → 1 当 x→0" 的方法,都是循环论
证, 所以不能用!
当然如果不是用初微的方法, 也就是不利用几何或解析几
何定义 sin, cos 及 lim sin(x)/x = 1 导出 D(sin(x)),
x→0
则没有错, 但仍不宜引用 L'Hopital's rule.
有几种方式定义三角函数, 例如应用 power series 理论,
以 power series 定义 sin(x) 与 cos(x), 并得其导数;
或由微分方程式
y"+y=0, y(0)=0, y'(0)=1 定义 y=sin(x)
然後 cos(x)≡y'
或以积分定义 arc sin (x), 即 sin^{-1}(x), 然後定义
出 sin(x) 及 cos(x), 再得出 D(sin(x))=cos(x).
然後
lim sin(x)/x = 1
x→0
成为依 D(sin(x))=cos(x) 证得的结果, 即:
lim sin(x)/x = lim (sin(x)-sin(0))/(x-0)
x→0 x→0
≡ D(sin(x))|
| x=0
= cos(0) = 1
依定义, 而非依 L'Hopital's rule 得结论.
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※ 编辑: yhliu 来自: 163.15.188.87 (04/23 12:45)
1F：推 CCWck:用泰勒定义sinx的话 应该是比较容易了解的 04/23 13:00
2F：推 andyjy12:sin微分的定义,不是会用到sinx/x ? 04/23 16:03
3F：→ goshfju:我只会画图 XD 04/23 16:30
4F：推 satipatthana:很清楚^^ 04/24 16:08