作者biglion (我愛美人魚)
看板Math
標題Re: [微積] n維球體積
時間Tue Jan 2 19:12:28 2007
如同推文說的 n維球的體積在 "Statistical Mechanics" by Pathria 上有
我想版上有這本書的人應該不多
我還是把書上推導過程post出來給大家欣賞一下
令 Vn(r) 為n維球的體積 Sn(r) 為n維球的表面積
假設 Vn(r)=Cn*r^n 則 dV=n*Cn*r^(n-1)=Sn(r)dr
∞
利用這個積分 ∫ exp(-x^2)dx=π^(1/2)
-∞
∞ ∞
=> π^(n/2) = ∫……∫exp[-(x1^2+x2^2…+xn^2)]dx1*dx2*…dxn
-∞ -∞
∞ ∞
= ∫exp(-r^2)Sn(r)dr = ∫exp(-r^2)n*Cn*r^(n-1)dr
0 0
= n*Cn*Γ(n/2)/2 = (n/2)!Cn
=> C = π^(1/2)/(n/2)!
=> Vn(r) = π^(1/2)r^n/(n/2)!
Sn(r) = 2π^(1/2)r^(n-1)/Γ(n/2)
想到這個方法的人真是天才!!
另外書中有例題(2.8、2.9)也利用類似的方法求得以下的積分
∫…………∫ Π(4πri^2 dri)
0≦Σri≦R i
i
及 ∫………………∫dx1*dx2…dx3N
3N
0≦Σ|xi|≦R
i
有興趣的可以想想看怎麼積！
更令我感到驚訝的是 物理竟然用得到這些抽象的積分 @@"
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◆ From: 140.112.218.138
1F：推 Linderman:推一下^^...老實說我實在是覺得這個證明很不自然... 01/02 19:34
2F：→ Linderman:我覺得這個作法只是係數跟好跟n維球體積的係數相同... 01/02 19:35
3F：→ Linderman:我用我自己的方法卻又卡在太麻煩和一個邏輯上的瑕疵 01/02 19:36
4F：→ Linderman:事實上Zwiebach弦論的quick calculation也是類似這方法 01/02 19:38
5F：→ Linderman:呵呵..其實這也是某一年的芝加哥大學博士班的資格考題目 01/02 19:39