作者biglion (我爱美人鱼)
看板Math
标题Re: [微积] n维球体积
时间Tue Jan 2 19:12:28 2007
如同推文说的 n维球的体积在 "Statistical Mechanics" by Pathria 上有
我想版上有这本书的人应该不多
我还是把书上推导过程post出来给大家欣赏一下
令 Vn(r) 为n维球的体积 Sn(r) 为n维球的表面积
假设 Vn(r)=Cn*r^n 则 dV=n*Cn*r^(n-1)=Sn(r)dr
∞
利用这个积分 ∫ exp(-x^2)dx=π^(1/2)
-∞
∞ ∞
=> π^(n/2) = ∫……∫exp[-(x1^2+x2^2…+xn^2)]dx1*dx2*…dxn
-∞ -∞
∞ ∞
= ∫exp(-r^2)Sn(r)dr = ∫exp(-r^2)n*Cn*r^(n-1)dr
0 0
= n*Cn*Γ(n/2)/2 = (n/2)!Cn
=> C = π^(1/2)/(n/2)!
=> Vn(r) = π^(1/2)r^n/(n/2)!
Sn(r) = 2π^(1/2)r^(n-1)/Γ(n/2)
想到这个方法的人真是天才!!
另外书中有例题(2.8、2.9)也利用类似的方法求得以下的积分
∫…………∫ Π(4πri^2 dri)
0≦Σri≦R i
i
及 ∫………………∫dx1*dx2…dx3N
3N
0≦Σ|xi|≦R
i
有兴趣的可以想想看怎麽积！
更令我感到惊讶的是 物理竟然用得到这些抽象的积分 @@"
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◆ From: 140.112.218.138
1F：推 Linderman:推一下^^...老实说我实在是觉得这个证明很不自然... 01/02 19:34
2F：→ Linderman:我觉得这个作法只是系数跟好跟n维球体积的系数相同... 01/02 19:35
3F：→ Linderman:我用我自己的方法却又卡在太麻烦和一个逻辑上的瑕疵 01/02 19:36
4F：→ Linderman:事实上Zwiebach弦论的quick calculation也是类似这方法 01/02 19:38
5F：→ Linderman:呵呵..其实这也是某一年的芝加哥大学博士班的资格考题目 01/02 19:39