變分學講白一點就是在Banach空間上的微積分學.雖然叫變分,他實際上是 一些泛函(functional)的微分.微分的概念只有在Banach空間上才可以被定義. 而流形(manifold)上的微分結構也是仰賴於至Banach空間的local chart. 這些術語,對初學者而言看似有點困難,但所謂的Banach空間只的就是可以定義 距離的向量空間,並且所有的柯西列均是收斂的,也就是在這個空間裡,可以找到極限. 畢竟微分這樣的概念是定義在局部集合(某一點的鄰域)上. 而微分也是仰賴於 距離結構.(距離結構才是決定鄰域,也就是空間的拓墣結構的主要因素). 定義: 假定X是一個Banach空間,X*是有所的有界線性泛函(bounded linear functional )所形成的Banach空間.如果F:X->R是一個映射,x_0是X的一個點,我們稱映射F 是可微分的若且為若,存在一個T屬於X*,使得,對任意不為0的向量h, |F(x_0+h)-F(x_0)-T(h)| = o(|h|) 我們記T =D_(x_0)F,稱為F的一次微分或一階變分. 舉個例子來說:X =C[0,1], |f| =max |f(x)| x\in [0,1] 1 F(f) = S f^2 dx 0 1 F(f + h) - F(f) = 2 S fh dx + F(h) 1 0 令T(h) = 2 S fhdx 0 則 |F(f+h)-F(f)-T(h)| ≦ |h|^2 = o(|h|). 例二.如果q是定義在某個完備的函數空間的函數。考慮極值 . F[q] =∫ L(x,q,q)dx, 用不是很嚴謹的方法討論可以得到下列計算： . . . 則 F[q+h] -F[q] = ∫ [L(x,q+h,q+h) - L(x,q,q)]dx δL δL = ∫ [---- h + ---- h'+ o(|h|)]dx δq δq' 利用integration by parts,可知 δL δL d δL F[q+h] -F[q] = h-----|邊界值 + ∫ [---- - --- ----]h dx + o(|h|) δq' δq dx δq' 那麼定義 δL d δL T[h] = ∫ [---- - --- ----]h dx δq dx δq' 就可以發現T是F的一次微分，有時我們也會記T=δF。 回想一個微積分的定義，我們說p是函數f的一個critical point如果 f'(p) = 0。 同樣道理:如果q是此函數空間的點滿足T[h] = 0 對任意給定的h均成立， 我們發現q是下列微分方程的解： δL d δL ---- - --- ---- = 0 δq dx δq' 此方程我們稱為泛函F的Euler Lagange equation， 所以Euler Lagrange equation的解便是原本泛函的critical point。 --

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