变分学讲白一点就是在Banach空间上的微积分学.虽然叫变分,他实际上是 一些泛函(functional)的微分.微分的概念只有在Banach空间上才可以被定义. 而流形(manifold)上的微分结构也是仰赖於至Banach空间的local chart. 这些术语,对初学者而言看似有点困难,但所谓的Banach空间只的就是可以定义 距离的向量空间,并且所有的柯西列均是收敛的,也就是在这个空间里,可以找到极限. 毕竟微分这样的概念是定义在局部集合(某一点的邻域)上. 而微分也是仰赖於 距离结构.(距离结构才是决定邻域,也就是空间的拓墣结构的主要因素). 定义: 假定X是一个Banach空间,X*是有所的有界线性泛函(bounded linear functional )所形成的Banach空间.如果F:X->R是一个映射,x_0是X的一个点,我们称映射F 是可微分的若且为若,存在一个T属於X*,使得,对任意不为0的向量h, |F(x_0+h)-F(x_0)-T(h)| = o(|h|) 我们记T =D_(x_0)F,称为F的一次微分或一阶变分. 举个例子来说:X =C[0,1], |f| =max |f(x)| x\in [0,1] 1 F(f) = S f^2 dx 0 1 F(f + h) - F(f) = 2 S fh dx + F(h) 1 0 令T(h) = 2 S fhdx 0 则 |F(f+h)-F(f)-T(h)| ≦ |h|^2 = o(|h|). 例二.如果q是定义在某个完备的函数空间的函数。考虑极值 . F[q] =∫ L(x,q,q)dx, 用不是很严谨的方法讨论可以得到下列计算： . . . 则 F[q+h] -F[q] = ∫ [L(x,q+h,q+h) - L(x,q,q)]dx δL δL = ∫ [---- h + ---- h'+ o(|h|)]dx δq δq' 利用integration by parts,可知 δL δL d δL F[q+h] -F[q] = h-----|边界值 + ∫ [---- - --- ----]h dx + o(|h|) δq' δq dx δq' 那麽定义 δL d δL T[h] = ∫ [---- - --- ----]h dx δq dx δq' 就可以发现T是F的一次微分，有时我们也会记T=δF。 回想一个微积分的定义，我们说p是函数f的一个critical point如果 f'(p) = 0。 同样道理:如果q是此函数空间的点满足T[h] = 0 对任意给定的h均成立， 我们发现q是下列微分方程的解： δL d δL ---- - --- ---- = 0 δq dx δq' 此方程我们称为泛函F的Euler Lagange equation， 所以Euler Lagrange equation的解便是原本泛函的critical point。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.32.148 ※ 编辑: herstein 来自: 140.114.34.57 (07/18 13:26)