※ 引述《plover (>//////<)》之銘言： : x_1 + .. +x_n : Let lim x_n = a, show that lim --------------- = a, : n->∞ n->∞ n : where a can be finite or infinite. 我們先來處理有限數的部分. 這個直接用 limit 的定義就可以了, 一般我們用定義的時候, 會先計算 |(x_1 + ... + x_n)/n - a|, | x_1 + ... + x_n | |x_1-a| + ... + |x_n-a| | ----------------- - a | ≦ -------------------------. | n | n 然後用已經知道的條件: lim x_n = a, 所以我們有 for any ε>0, n->∞ there is N such that |x_n - a| < ε whenever n≧N. 因此當 n≧N, |x_1-a| + ... + |x_n-a| |x_1-a| + ... + |x_N-a| n-N ------------------------- ≦ ------------------------- + ----- ε n n n 注意到分子 |x_1-a| + ... + |x_N-a| 其實是個固定下來的數字, 分母還是可以變動的數字 n, 因此我們可以讓 n 很大, 也就是說 there is N' such that (|x_1-a| + ... + |x_N-a|)/n < ε, 因此 | x_1 + ... + x_n | | ----------------- - a | ≦ ε + ε = 2ε. | n | 這樣子就證明差不多了, 雖然我們常看到有人把上面的 ε 取成 ε/2, 以配合上式會小於 ε, 但我覺得這些都是小細節, 只要是固定數乘以ε就夠了, 也就是比較廣義的 limit 定義 (跟之前的定義是一樣的! ): lim x_n = a if for any ε > 0, there exists N, M such that n->∞ | x_n - a | < Mε whenever n≧N. 這樣算是解決了嗎? 不! 我還有 a = +∞ 或 a = -∞ 的兩個情況沒有處理, 不過這兩個情況我就不多說了. 類題: (*) If p_k > 0 and p_n lim ----------------- = 0, lim a_n = a, n->∞ p_1 + ... + p_n n->∞ then p_1a_n + p_2a_{n-1} + ... + p_na_1 lim ------------------------------------ = a. n->∞ p_1 + ... + p_n (*) 證明 lim (1 + 1/√2 + ... + 1/√n)/n = 0. n->∞ --

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