※ 引述《plover (>//////<)》之铭言： : x_1 + .. +x_n : Let lim x_n = a, show that lim --------------- = a, : n->∞ n->∞ n : where a can be finite or infinite. 我们先来处理有限数的部分. 这个直接用 limit 的定义就可以了, 一般我们用定义的时候, 会先计算 |(x_1 + ... + x_n)/n - a|, | x_1 + ... + x_n | |x_1-a| + ... + |x_n-a| | ----------------- - a | ≦ -------------------------. | n | n 然後用已经知道的条件: lim x_n = a, 所以我们有 for any ε>0, n->∞ there is N such that |x_n - a| < ε whenever n≧N. 因此当 n≧N, |x_1-a| + ... + |x_n-a| |x_1-a| + ... + |x_N-a| n-N ------------------------- ≦ ------------------------- + ----- ε n n n 注意到分子 |x_1-a| + ... + |x_N-a| 其实是个固定下来的数字, 分母还是可以变动的数字 n, 因此我们可以让 n 很大, 也就是说 there is N' such that (|x_1-a| + ... + |x_N-a|)/n < ε, 因此 | x_1 + ... + x_n | | ----------------- - a | ≦ ε + ε = 2ε. | n | 这样子就证明差不多了, 虽然我们常看到有人把上面的 ε 取成 ε/2, 以配合上式会小於 ε, 但我觉得这些都是小细节, 只要是固定数乘以ε就够了, 也就是比较广义的 limit 定义 (跟之前的定义是一样的! ): lim x_n = a if for any ε > 0, there exists N, M such that n->∞ | x_n - a | < Mε whenever n≧N. 这样算是解决了吗? 不! 我还有 a = +∞ 或 a = -∞ 的两个情况没有处理, 不过这两个情况我就不多说了. 类题: (*) If p_k > 0 and p_n lim ----------------- = 0, lim a_n = a, n->∞ p_1 + ... + p_n n->∞ then p_1a_n + p_2a_{n-1} + ... + p_na_1 lim ------------------------------------ = a. n->∞ p_1 + ... + p_n (*) 证明 lim (1 + 1/√2 + ... + 1/√n)/n = 0. n->∞ --

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