一般談到點集拓樸 (point set topology) 的時候, 會聯想到 topology 三個公設 (axioms). 但就高微應用而言, 我們並不用先知道那三個公設, 也不用從很抽象的空間開始學起. 個人主觀認為, 從 Euclidean space R^n 開始學點集拓樸, 甚至從 real line 開始學起就可以了. 就高微應用來說, open balls, open sets 是很重要的觀念, open sets 相對應的觀念就是局部, 一談到局部, 就會連想到 limit, continuity, derivatives, 因為這些東西在局部上就可以定義了! 那要怎麼去談 R^n 上的 open balls 呢? 假設線代有好好學 (inner product spaces), 甚至高中數學有好好學 (高二), 不難知道 R^n 的 norm 是怎麼定義的: n 2 ∥x∥ = √(x˙x) = √( Σ x ). k=1 k 然後你就會連想到 Cauchy-Schwarz inequality, 甚至是 Bessel inequality, Parseval's formula 也可以想起, Bessel inequality 與 Parseval's formula 是 Fourier theory 中重要內容之一. 回到主題, 一個 open ball, 會有兩個東西, 一個是球心 a = (a_1, ..., a_n), 一個是球半徑 r > 0, 我們就定義一個 open n-ball of radius r and center a B(a;r) = { x in R^n | ∥x-a∥ < r }. = { x in R^n : ∥x-a∥ < r }. 有人習慣把分格符號寫 |, 也有人喜歡寫 :, 這都不要緊. 但上面怎麼看都是抽象的定義, 我們希望能夠具體一點, 那就可以畫畫 n = 1, n = 2, n = 3 的 open balls 是長怎樣的. 在 n = 1 時, 就是常見的開區間, n = 2 時就是開圓盤, n = 3 時就是名副其實的開圓球. 有了 open ball 的觀念, 就可以談 interior point, interior point 也是局部的東西, 細節就是: a in S < R^n is called an interior point if there is an open n-ball with center at a, whose points belongs to S. 這個細節也很抽象, 所以我們希望能夠具體一點, 在 n = 2 的時候, 隨意畫出一個集合 (例如 open n-ball), 然後找一點, 以這一點為圓心嘗試畫一個圓球, 讓圓球整個落在原先畫的集合裡面. 其實觀念很簡單, 不要被抽象的定義給嚇到了! 他們都是紙老虎, 毛澤東說得好: "對付紙老虎, 我們要在戰術上重視它, 在戰略上藐視它. " 接著我們就可以走到 open sets 了! 感覺我在抄 Apostol 的第三章 O_o 沒錯我就是在抄. 說一下這一章怎麼念比較好 (主觀感覺) , Section 3.1, 3.2 - 跳過, 如果以前線代有好好學的話 :p Section 3.3 - 點集拓樸初步, 必看! Section 3.4 - 先跳過. Section 3.5 - 講到 closed sets, 必看! Section 3.6 - 準備把 closed sets 的性質看的更透徹, 必看! Section 3.7 - 把 closed sets 與 adherent points 連在一起, 必看! Section 3.8 - Bolzano-Weierstrass Theorem, 重點中的重點, 或者說是一個門檻也行, 他的精神是數學歸納法 :p Section 3.9 - Cantor Intersection Theorem, 這可以看成 Bolzano-Weierstrass Theorem 的一個應用, 或看成區間套定理的一個推廣 O_o Section 3.10 - 開始引入 cover 的觀念, 這是很重要的觀念. Lindelof covering theorem 或許是重要的定理, 但是這節的價值, 我覺得還是在 cover 這東西上面. Section 3.11 - The Heine-Borel Covering Theorem. 這個是超級重點, Section 3.12 - compact set 一定要會! Section 3.13 ... 接下來都一些小東西. 這是數學分析 (高微) 中很重要的點集拓樸知識, 可能還有一點東西我沒有補上, 但基本的你弄懂了, 剩下的部分只要再花一點時間就 ok 了 (perfect set 等等之類的東西, 但我覺得這些東西都不太重要, 哈哈, 真覺得我還挺偏激的) 以上是末學小小的心得, 歡迎大獅批評指教補充. --

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