一般谈到点集拓朴 (point set topology) 的时候, 会联想到 topology 三个公设 (axioms). 但就高微应用而言, 我们并不用先知道那三个公设, 也不用从很抽象的空间开始学起. 个人主观认为, 从 Euclidean space R^n 开始学点集拓朴, 甚至从 real line 开始学起就可以了. 就高微应用来说, open balls, open sets 是很重要的观念, open sets 相对应的观念就是局部, 一谈到局部, 就会连想到 limit, continuity, derivatives, 因为这些东西在局部上就可以定义了! 那要怎麽去谈 R^n 上的 open balls 呢? 假设线代有好好学 (inner product spaces), 甚至高中数学有好好学 (高二), 不难知道 R^n 的 norm 是怎麽定义的: n 2 ∥x∥ = √(x˙x) = √( Σ x ). k=1 k 然後你就会连想到 Cauchy-Schwarz inequality, 甚至是 Bessel inequality, Parseval's formula 也可以想起, Bessel inequality 与 Parseval's formula 是 Fourier theory 中重要内容之一. 回到主题, 一个 open ball, 会有两个东西, 一个是球心 a = (a_1, ..., a_n), 一个是球半径 r > 0, 我们就定义一个 open n-ball of radius r and center a B(a;r) = { x in R^n | ∥x-a∥ < r }. = { x in R^n : ∥x-a∥ < r }. 有人习惯把分格符号写 |, 也有人喜欢写 :, 这都不要紧. 但上面怎麽看都是抽象的定义, 我们希望能够具体一点, 那就可以画画 n = 1, n = 2, n = 3 的 open balls 是长怎样的. 在 n = 1 时, 就是常见的开区间, n = 2 时就是开圆盘, n = 3 时就是名副其实的开圆球. 有了 open ball 的观念, 就可以谈 interior point, interior point 也是局部的东西, 细节就是: a in S < R^n is called an interior point if there is an open n-ball with center at a, whose points belongs to S. 这个细节也很抽象, 所以我们希望能够具体一点, 在 n = 2 的时候, 随意画出一个集合 (例如 open n-ball), 然後找一点, 以这一点为圆心尝试画一个圆球, 让圆球整个落在原先画的集合里面. 其实观念很简单, 不要被抽象的定义给吓到了! 他们都是纸老虎, 毛泽东说得好: "对付纸老虎, 我们要在战术上重视它, 在战略上藐视它. " 接着我们就可以走到 open sets 了! 感觉我在抄 Apostol 的第三章 O_o 没错我就是在抄. 说一下这一章怎麽念比较好 (主观感觉) , Section 3.1, 3.2 - 跳过, 如果以前线代有好好学的话 :p Section 3.3 - 点集拓朴初步, 必看! Section 3.4 - 先跳过. Section 3.5 - 讲到 closed sets, 必看! Section 3.6 - 准备把 closed sets 的性质看的更透彻, 必看! Section 3.7 - 把 closed sets 与 adherent points 连在一起, 必看! Section 3.8 - Bolzano-Weierstrass Theorem, 重点中的重点, 或者说是一个门槛也行, 他的精神是数学归纳法 :p Section 3.9 - Cantor Intersection Theorem, 这可以看成 Bolzano-Weierstrass Theorem 的一个应用, 或看成区间套定理的一个推广 O_o Section 3.10 - 开始引入 cover 的观念, 这是很重要的观念. Lindelof covering theorem 或许是重要的定理, 但是这节的价值, 我觉得还是在 cover 这东西上面. Section 3.11 - The Heine-Borel Covering Theorem. 这个是超级重点, Section 3.12 - compact set 一定要会! Section 3.13 ... 接下来都一些小东西. 这是数学分析 (高微) 中很重要的点集拓朴知识, 可能还有一点东西我没有补上, 但基本的你弄懂了, 剩下的部分只要再花一点时间就 ok 了 (perfect set 等等之类的东西, 但我觉得这些东西都不太重要, 哈哈, 真觉得我还挺偏激的) 以上是末学小小的心得, 欢迎大狮批评指教补充. --

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