在下才疏學淺 試著用大一微積分所具備的知識來解釋看看 ※ 引述《lgsfrank (遙想)》之銘言： : 這是他的前言(Thomas 10th) 覺得語意很矛盾 應該是我英文不好 可否解釋一下 : We sometimes use the notation dy/dx to represent the derivative of y with : respect to x. Contrary to its appearance, it is not a ratio. We now introdeuce : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : two new variables dx and dy with the property that if their ratio exists, it : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : will be equal to the derivative. : 1) 為什麼說dy/dx 不是ratio 呢? 因為 dy Δy ---- = lim -------------- 這是差商的極限 dx Δx->0 Δx the difference of y is depend on x lim Δy 而不是 ------------- Δy在這裡和Δx是彼此獨立的比值 lim Δx 這兩者在單變數時會有同樣的結論 答案 大數學家萊布尼茲使用這個符號系統 有很大的方便及暗示性 尤其是連鎖律表達 但是多變數求偏導微則可能會有不一樣的答案 把一個函數的微分當作兩個微量的相除 當作除法約來約去 是被符號誤導 以致觀念錯誤 祇是在單變數時不會產生答案錯誤而已 (以下有說明) 把多變數偏微分連鎖律 或是連乘積 當作微量相除約約看 會吃到苦頭的 : 2) 他不是說dy/dx 不是 ratio 那為什麼又說 if their ration exists 呢? Differential 和 Difference不一樣 Differential稱為微分 dy=f'(x)dx (if導數存在 就如左式) Difference稱為差分 Δy=y_2 -y_1 derivative稱為導數 定義為差商的極限 lim f(x+Δx)-f(x)/Δx 單變數微分的定義式 dy=f'(x)dx 更原始的樣子如下 f(x+Δx) - f(x) limΔy = lim (-------------------- Δx) Δx 現在.... limΔx=0 (極限存在) 且lim f(x+Δx)-f(x)/Δx存在 也就是導數存在 根據極限四則運算的性質 f(x+Δx) - f(x) limΔy= (lim --------------------)(limΔx) 可得dy=f'(x)dx Δx limΔy f(x+Δx) - f(x) Δy dy --------- = lim --------------------= lim --------- = ---- limΔx Δx Δx->0 Δx dx 上式的第一個等號 是符號系統所造成的巧合 第二個等號才是正確的觀念 所以書上說的 if their ratio exists, it will be equal to the derivative. 就是指那第一個巧合的等號 : (這部份是前言) : 他是要定義Differentials => dy=f'(x)dx : 謝謝回答^^ --

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