※ 引述《nicewine (櫻木花道)》之銘言： : *********************************************************** : 分析學的算術化 : 建立在實數算數的無矛盾性上 : 微積分的理論基礎問題 : 直到19世紀20年代才由法國科學家柯西解決 : 他定義了變量 函數 極限 無窮小 無窮大 : 無理數 連續性 導數 積分等概念 : 然而他是用 要多小就多小 無限接近 之類的幾何或直觀自然語言 : 德國數學家 Weierstrass 則給出了Delta Epsilon系統 Cauchy 利用不等式來把極限的概念發展至一個較為嚴謹的程度, 即所謂極限概念的「算術化」, 他說： 「如果 {x_1, x_2, ..., x_n, ...} 無限制的靠近 L, 則 L 稱為數列 {x_1, x_2, ..., x_n, ...} 的極限, 寫作 lim x_n = L. 」 而 Weierstrass 在 1859 年把 Cauchy 所有有關極限的定義重新加以敘述, 給定無窮極限的定義： 「對於任意正數 ε, 如果有一個自然數 N, N 可能是 ε 的函數, 讓所有的 n≧N, 都能滿足 | a_n - A | < ε, 我們就說 {a_n} 有極限 A (或者說 {a_n} 收斂到 A), 簡記成 lim a_n = A. 」 後來稱 Cauchy 及 Weierstrass 將關於無窮大及無窮小的運算化為一系列等式的推導, 叫做極限的 ε-δ（ε-N）方法 其實關於序列極限的正確概念早在 1655 年由英國數學家沃利斯給出, 但是未被人們採用. 捷克數學家 Bolzano 在 1817 年也給出了序列收斂條件的正確表述, 可惜他的工作沒有廣泛為人所知. ----------------------------------------------------------------------- 之前的歷史是這樣子的: 在中國的《莊子．天下篇》記載著戰國時代的名家公孫龍說過的一段話： 「一尺之棰, 日取其半, 萬世不竭」. 這其中就包含了極限的概念. 又如中國數學家所創的「割圓術」, 主要用來求取圓的面積, 以正多邊形的面積來逼近圓面積, 當正多邊形的邊數越多時, 其面積與圓面積的差就越小, 「割之又割以致於不可割, 則與圓合體而無所失矣」, 也利用了極限的概念. 古希臘人同樣也面臨到求圓面積的問題, 也是利用了內接正多邊形的方法, 但是當時對於極限的概念相當的模糊, 亦即無法解釋當 n→∞ 時, 究竟會發生什麼情形, 也因此在當時的歐多克索斯 (Eudoxus) 提出了「窮盡法」, 來取代模糊的極限概念, 而阿基米德把窮盡法成功地應用於面積計算, 可說是近代極限理論的雛形, 窮盡法的主要結論為： 「給定兩個不同的數, 較大者減去一個超過其半的量, 再從餘量中減去超過其半的量, 如此反覆進行, 到某個階段時, 其餘量將少於原給兩數中較小者. 」 在 Newton 及 Leibniz 發展微積分時, 極限的概念仍是模糊不清的, 例如 Newton 稱變量的無窮小增量為「瞬」, 有時令它非零, 又時又令它為零, Leibniz 的 dx、dy 也不能自圓其說. 但在其後來的發展過程中, 一開始雖然注意到極限理論並不嚴謹, 卻沒有給予完整的證明, 直到 Berkeley 對微積分的極限提出疑問, 後來 Cauchy 及 Weierstrass 才給予極限一個嚴謹的定義. 按之前的說法：「dx 為一個無窮小的數, 其不等於 0, 但是小於任何正數. 」 而這個說法違反了「Archimedes 性質」, 因此 Berkeley 當初提出質疑說： 「dx 是一個無窮小的數, 那到底無窮小是不是一個數？ 如果是一個數, 那也只可能為 0 或不為 0, 如果為 (f(x+h)-f(x))/h 等於 0/0, 並沒有意義, 如果不為0, 那麼 h 又不可以隨意的省略. 」 最後 Berkeley 下結論說： 「無窮小不是一個數, 它不是一個普通的數, 也不是小一點的數, 更不為 0, 因此它是『已死數的幽靈』. 」 (接上文) : *********************************************************** : 當時的幾何與分析學都歸結到實數算術的無矛盾性 : 然而隨著分析學研究的逐漸深入 : 發現實數系並不是如一般人所想的擁有邏輯基礎 : 例如當時無理數定義為有理數序列的極限 : 如果沒有有理數的定義就無法定義無理數 : 另一方面無理數與有理數在18世紀時統稱為代數數 : 並定義為有理係數方程的根 : ************************************************************ : 1874年康托爾證明了超越數的存在 : 1882年林德曼證實pi是超越數 : 於是存在著兩類無理數 : 一種稱為代數無理數 : 一種稱為超越無理數 : 因此必須為無理數下一個定義 : (未完待續) --

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