※ 引述《nicewine (樱木花道)》之铭言： : *********************************************************** : 分析学的算术化 : 建立在实数算数的无矛盾性上 : 微积分的理论基础问题 : 直到19世纪20年代才由法国科学家柯西解决 : 他定义了变量 函数 极限 无穷小 无穷大 : 无理数 连续性 导数 积分等概念 : 然而他是用 要多小就多小 无限接近 之类的几何或直观自然语言 : 德国数学家 Weierstrass 则给出了Delta Epsilon系统 Cauchy 利用不等式来把极限的概念发展至一个较为严谨的程度, 即所谓极限概念的「算术化」, 他说： 「如果 {x_1, x_2, ..., x_n, ...} 无限制的靠近 L, 则 L 称为数列 {x_1, x_2, ..., x_n, ...} 的极限, 写作 lim x_n = L. 」 而 Weierstrass 在 1859 年把 Cauchy 所有有关极限的定义重新加以叙述, 给定无穷极限的定义： 「对於任意正数 ε, 如果有一个自然数 N, N 可能是 ε 的函数, 让所有的 n≧N, 都能满足 | a_n - A | < ε, 我们就说 {a_n} 有极限 A (或者说 {a_n} 收敛到 A), 简记成 lim a_n = A. 」 後来称 Cauchy 及 Weierstrass 将关於无穷大及无穷小的运算化为一系列等式的推导, 叫做极限的 ε-δ（ε-N）方法 其实关於序列极限的正确概念早在 1655 年由英国数学家沃利斯给出, 但是未被人们采用. 捷克数学家 Bolzano 在 1817 年也给出了序列收敛条件的正确表述, 可惜他的工作没有广泛为人所知. ----------------------------------------------------------------------- 之前的历史是这样子的: 在中国的《庄子．天下篇》记载着战国时代的名家公孙龙说过的一段话： 「一尺之棰, 日取其半, 万世不竭」. 这其中就包含了极限的概念. 又如中国数学家所创的「割圆术」, 主要用来求取圆的面积, 以正多边形的面积来逼近圆面积, 当正多边形的边数越多时, 其面积与圆面积的差就越小, 「割之又割以致於不可割, 则与圆合体而无所失矣」, 也利用了极限的概念. 古希腊人同样也面临到求圆面积的问题, 也是利用了内接正多边形的方法, 但是当时对於极限的概念相当的模糊, 亦即无法解释当 n→∞ 时, 究竟会发生什麽情形, 也因此在当时的欧多克索斯 (Eudoxus) 提出了「穷尽法」, 来取代模糊的极限概念, 而阿基米德把穷尽法成功地应用於面积计算, 可说是近代极限理论的雏形, 穷尽法的主要结论为： 「给定两个不同的数, 较大者减去一个超过其半的量, 再从余量中减去超过其半的量, 如此反覆进行, 到某个阶段时, 其余量将少於原给两数中较小者. 」 在 Newton 及 Leibniz 发展微积分时, 极限的概念仍是模糊不清的, 例如 Newton 称变量的无穷小增量为「瞬」, 有时令它非零, 又时又令它为零, Leibniz 的 dx、dy 也不能自圆其说. 但在其後来的发展过程中, 一开始虽然注意到极限理论并不严谨, 却没有给予完整的证明, 直到 Berkeley 对微积分的极限提出疑问, 後来 Cauchy 及 Weierstrass 才给予极限一个严谨的定义. 按之前的说法：「dx 为一个无穷小的数, 其不等於 0, 但是小於任何正数. 」 而这个说法违反了「Archimedes 性质」, 因此 Berkeley 当初提出质疑说： 「dx 是一个无穷小的数, 那到底无穷小是不是一个数？ 如果是一个数, 那也只可能为 0 或不为 0, 如果为 (f(x+h)-f(x))/h 等於 0/0, 并没有意义, 如果不为0, 那麽 h 又不可以随意的省略. 」 最後 Berkeley 下结论说： 「无穷小不是一个数, 它不是一个普通的数, 也不是小一点的数, 更不为 0, 因此它是『已死数的幽灵』. 」 (接上文) : *********************************************************** : 当时的几何与分析学都归结到实数算术的无矛盾性 : 然而随着分析学研究的逐渐深入 : 发现实数系并不是如一般人所想的拥有逻辑基础 : 例如当时无理数定义为有理数序列的极限 : 如果没有有理数的定义就无法定义无理数 : 另一方面无理数与有理数在18世纪时统称为代数数 : 并定义为有理系数方程的根 : ************************************************************ : 1874年康托尔证明了超越数的存在 : 1882年林德曼证实pi是超越数 : 於是存在着两类无理数 : 一种称为代数无理数 : 一种称为超越无理数 : 因此必须为无理数下一个定义 : (未完待续) --

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