StepI:以下是給複數具體化的方法： 在平面座標中，我們定義 i =(0,1), 1 =(1,0)。那麼任意的P(a,b)均可表為 z = (a,b) = a + bi。 任意給定 z_1 = (a_1,b_1), z_2 = (a_2,b_2)，並且定義 z_1*z_2 =(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1) 那麼平面的點就具有了加減乘除的概念，也就是代數學裡面俗稱的"體"。 我們想找出平面上的某一點z滿足 z^2 + 1 = 0。 於是我們可以假設z = (a,b)，那麼 a^2-b^2 = -1, 2ab = 0. 則 a = 0或b =0，當 b = 0則-a^2=1不合。若a=0則 b = ±1。 因此我們可以知道此方程的解為 z = i=(0,1)或-i=(0,-1)。 如果考慮一般複數 q = (m,n)的平方根， z^2 +q = 0 同上可以假設 z =(a,b), 並且 a^2-b^2=-m， 2ab = -n 則那麼可以利用一些手法解出a與b，便解出z。 同時利用數學歸納法，便可以證明所有的複數多項式都有根。 (利用數學歸納法證明所有的複數多項式可以分解為一次與二次的乘積)。 這是證明複數是代數封閉體的方法。 StepII:定義exp(z)與ln(z) 利用Bolzano-Weiertrass定理可以證明複數平面是一個完備的距離空間。 同時 ∞ z^n exp(z) = Σ------ (在整個複數平面上收斂) n=0 n! ln(z) = ln(|z|) + iarg(z) 注意arg(z)的定義可以是差2nπ的，這就是所謂的Branch選擇。 StepIII 定義 n√z = z^(1/n) = exp(ln(z)/n) 從此n次方根被選定了。但在高中課程裡，已經選定 0≦arg(z)<2π。 因此我們當然可以確定√z是啥，甚至我們可以證明，如果 z = r(cosθ,sinθ) 則 √z = √r (cos(θ/2),sin(θ/2)) 當然，一切的計算都是可以確定的。 --

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