StepI:以下是给复数具体化的方法： 在平面座标中，我们定义 i =(0,1), 1 =(1,0)。那麽任意的P(a,b)均可表为 z = (a,b) = a + bi。 任意给定 z_1 = (a_1,b_1), z_2 = (a_2,b_2)，并且定义 z_1*z_2 =(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1) 那麽平面的点就具有了加减乘除的概念，也就是代数学里面俗称的"体"。 我们想找出平面上的某一点z满足 z^2 + 1 = 0。 於是我们可以假设z = (a,b)，那麽 a^2-b^2 = -1, 2ab = 0. 则 a = 0或b =0，当 b = 0则-a^2=1不合。若a=0则 b = ±1。 因此我们可以知道此方程的解为 z = i=(0,1)或-i=(0,-1)。 如果考虑一般复数 q = (m,n)的平方根， z^2 +q = 0 同上可以假设 z =(a,b), 并且 a^2-b^2=-m， 2ab = -n 则那麽可以利用一些手法解出a与b，便解出z。 同时利用数学归纳法，便可以证明所有的复数多项式都有根。 (利用数学归纳法证明所有的复数多项式可以分解为一次与二次的乘积)。 这是证明复数是代数封闭体的方法。 StepII:定义exp(z)与ln(z) 利用Bolzano-Weiertrass定理可以证明复数平面是一个完备的距离空间。 同时 ∞ z^n exp(z) = Σ------ (在整个复数平面上收敛) n=0 n! ln(z) = ln(|z|) + iarg(z) 注意arg(z)的定义可以是差2nπ的，这就是所谓的Branch选择。 StepIII 定义 n√z = z^(1/n) = exp(ln(z)/n) 从此n次方根被选定了。但在高中课程里，已经选定 0≦arg(z)<2π。 因此我们当然可以确定√z是啥，甚至我们可以证明，如果 z = r(cosθ,sinθ) 则 √z = √r (cos(θ/2),sin(θ/2)) 当然，一切的计算都是可以确定的。 --

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