第二次數學危機 「飛矢不動」的吊詭 古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方，在云云的哲學學派之中，其中一派主張 「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理 念，不是我們的討論範圍，不過，這個學派的學者之一──芝諾，為了論證運動 是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位 置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？ 數學——打破吊詭的武器 當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論，但數學是一個講究嚴謹的學科，數 學家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速 率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間 都是動即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因為如何找出每一 瞬間的速率呢？ 無堅不摧──微積分 要解決每一瞬間的速率（以下稱瞬時速度）的問題，偉大的數學家和物理學家─ ─牛頓（Newton），發現了一件無堅不摧的武器──微積分，其中微分便正好 可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界，而且除了 瞬時速度，微積分更在不同方面有廣泛的應用，並得到了瞬速的發展。不過，好 境不常… 既不是零又不是非零？ 因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題，所謂「無窮小量」是指一個「 非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有 任何空間和距離」，換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量， 那麼，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便 無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水 ，所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。 化危為機 數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家 的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西（Cauchy），重新建立微積分學的基礎 ──數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言──ε-語言」來說明甚 麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚麼是既不是零又不是非零的 問題，而這次的危機亦安然渡過，並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析 」，也提醒了數學家們要繼續要求嚴格，不可鬆懈。 -- 羅西尼：『莫札特不是最偉大的音樂家，他實在是世界上唯一的音樂家。』 蕭邦最後遺言：『請演奏莫札特的音樂追憶我。』 海頓：『親朋好友常說我才比天高，但莫札特卻在我之上。』 --

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