第二次数学危机 「飞矢不动」的吊诡 古代的希腊是研究哲学的人聚集的地方，在云云的哲学学派之中，其中一派主张 「存在是静止的，不变的，永恒的，变化与运动只是幻觉。」至於这个主张的理 念，不是我们的讨论范围，不过，这个学派的学者之一──芝诺，为了论证运动 是幻象，提出了「飞矢不动」的「理论」：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位 置，即箭在每一瞬间存在，即箭在每一瞬间都是静止的，又怎可能动呢？ 数学——打破吊诡的武器 当然我们完全明白「飞矢不动」是一个歪论，但数学是一个讲究严谨的学科，数 学家们要从问题的核心「动」作为开始，要证明「飞矢必动」。所谓动是指有速 率，而速率便是所走的路程和所用的时间的比，换句话说，要证明箭在每一瞬间 都是动即，要证明箭在每一瞬间都有速率，但这是一个难题，因为如何找出每一 瞬间的速率呢？ 无坚不摧──微积分 要解决每一瞬间的速率（以下称瞬时速度）的问题，伟大的数学家和物理学家─ ─牛顿（Newton），发现了一件无坚不摧的武器──微积分，其中微分便正好 可以计算出物体的瞬时速度。这个发现震惊了整个数学界和物理学界，而且除了 瞬时速度，微积分更在不同方面有广泛的应用，并得到了瞬速的发展。不过，好 境不常… 既不是零又不是非零？ 因为微积分必须要考虑所谓「无穷小量」的问题，所谓「无穷小量」是指一个「 非零而又极接近零的量」，而所谓「极接近零」是指这个量「与零之间不容许有 任何空间和距离」，换句话说，「无穷小量」是一个既不是零又不是非零的量， 那麽，「无穷小量」是零吗？如果解不到这个问题，所谓无坚不摧的微积分，便 无立足之地，一切由微积分所得出来的完美的数学和物理学上的结果也付诸流水 ，所以数学史上称之为「第二次数学危机」。 化危为机 数学是讲究严谨的学科，数学家必不逃避问题，面对困难，接受挑战，是数学家 的不朽格言。另一位伟大的数学家柯西（Cauchy），重新建立微积分学的基础 ──数学分析。数学分析是透过一套严格的「数学语言──ε-语言」来说明甚 麽是变量、无穷小和极限等的概念和定义，解决了甚麽是既不是零又不是非零的 问题，而这次的危机亦安然渡过，并为数学的大家庭增添了一位成员「数学分析 」，也提醒了数学家们要继续要求严格，不可松懈。 -- 罗西尼：『莫札特不是最伟大的音乐家，他实在是世界上唯一的音乐家。』 萧邦最後遗言：『请演奏莫札特的音乐追忆我。』 海顿：『亲朋好友常说我才比天高，但莫札特却在我之上。』 --

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